Resum geometria mètrica

4. Angles entre elements de l'espai

Angle entre dues rectes

L'angle entre dues rectes és el menor angle que formen.

I és igual al'angle més petit format pels seus vectors director.

L'angle α l'obtenim a partir dels seus vectors directors.

$v avec flèche vers la droite au-dessus$ vector director r
$u avec flèche vers la droite au-dessus$ vector director s

$alpha égal à a r c espace cos espace numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) u avec flèche vers la droite au-dessus fois v avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur trait vertical ouvert(e) u avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) fois trait vertical ouvert(e) v avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) fin de la fraction$

És adir, si sabem les components dels vectors directors $v avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse gauche v indice 1 virgule v indice 2 virgule v indice 3 parenthèse droite$ , $u avec flèche vers la droite au-dessus parenthèse gauche u indice 1 virgule u indice 2 virgule u indice 3 parenthèse droite$ ,
calculem el cosinus de l'angle que formen:

$cos espace alpha égal à numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) u avec flèche vers la droite au-dessus fois v avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur trait vertical ouvert(e) u avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) fois trait vertical ouvert(e) v avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) fin de la fraction égal à numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) u indice 1 fois v indice 1 plus u indice 2 fois v indice 2 plus u indice 3 fois v indice 3 trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur début de racine carrée de u indice 1 au carré plus u indice 2 au carré plus u indice 3 au carré fin de racine fois début de racine carrée de v indice 1 au carré plus v indice 2 au carré plus v indice 3 au carré fin de racine fin de la fraction$

i un cop sabem el valor del cosinus de l'angle, amb la funció arcsinus, trobem l'angle.

Observació: agafem el mòdul del producte escalar per obtenir l'angle amb cosinus positiu, és a dir, el menor angle que formen.

Exemple

Trobeu l'angle que formen les rectes

$r deux points espace espace numérateur de la fraction x moins 2 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction y plus 1 au-dessus du dénominateur 1 fin de la fraction égal à z sur 1 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s deux points numérateur de la fraction x plus 1 au-dessus du dénominateur moins 1 fin de la fraction égal à y sur 2 égal à z sur 1$

Vectors directors:

$u parenthèse gauche 2 virgule 1 virgule 1 parenthèse droite espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace v parenthèse gauche moins 1 virgule 2 virgule 1 parenthèse droite$

$cos espace alpha égal à numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) 2 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite plus 1 fois 2 plus 1 fois 1 trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur début de racine carrée de 2 au carré plus 1 au carré plus 1 au carré fin de racine fois début de racine carrée de parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au carré plus 2 au carré plus 1 au carré fin de racine fin de la fraction égal à numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) 1 trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur racine carrée de 6 fois racine carrée de 6 fin de la fraction égal à 1 sur 6$

Busqueu l'angle en la calculadora amb la funció inversa del cosinus, la funció arccosinus.

(fixeu-vos si teniu la calculadora en graus centígrads o radians)

$alpha égal à a r c espace cos espace 1 sur 6 égal à gras 80 gras virgule gras 41 gras º$

Angle entre dos plans

L'angle format per dos plans és l'angle menor determinat pels seus vectors normals.

$n avec flèche vers la droite au-dessus indice 1$ vector normal pla $pi majuscule indice 1$
$n avec flèche vers la droite au-dessus indice 2$ vector normal pla $pi majuscule indice 2$

$alpha égal à a r c espace cos espace numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) empilement n indice 1 avec flèche vers la droite au-dessus fois empilement n indice 2 avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur trait vertical ouvert(e) empilement n indice 1 avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) fois trait vertical ouvert(e) empilement n indice 2 avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) fin de la fraction$

Exemple

Troba l'angle format pels plans:

$simple pi indice 1 deux points espace espace 2 simple x moins simple y plus simple z moins 1 égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace simple pi indice 2 deux points espace espace moins simple x moins simple z plus 3 égal à 0 espace espace espace espace espace espace$

Els vectors normals són:

$n indice 1 parenthèse gauche 2 virgule moins 1 virgule 1 parenthèse droite n indice 2 parenthèse gauche moins 1 virgule 0 virgule moins 1 parenthèse droite$

$cos espace alpha égal à numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) 2 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite plus parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite fois 0 plus 1 fois parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur début de racine carrée de 2 au carré plus parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au carré plus 1 au carré fin de racine fois début de racine carrée de parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au carré plus 0 au carré plus parenthèse gauche moins 1 parenthèse droite au carré fin de racine fin de la fraction égal à numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) moins 3 trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur racine carrée de 6 fois racine carrée de 2 fin de la fraction cos espace alpha égal à numérateur de la fraction 3 au-dessus du dénominateur racine carrée de 12 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction 3 au-dessus du dénominateur 2 racine carrée de 3 fin de la fraction égal à numérateur de la fraction racine carrée de 3 au-dessus du dénominateur 4 fin de la fraction$

$alpha égal à a r c espace cos espace numérateur de la fraction racine carrée de 3 au-dessus du dénominateur 2 fin de la fraction égal à gras 30 gras º$

Angle entre recta i pla

L'angle que formen una recta i un pla és l'angle format per la recta i la seva projecció ortogonal (perpendicular) sobre el pla.

$v avec flèche vers la droite au-dessus$ vector director de la recta r

$n avec flèche vers la droite au-dessus$ vector normal del pla $pi majuscule$

$alpha égal à a r c espace sin espace numérateur de la fraction trait vertical ouvert(e) v avec flèche vers la droite au-dessus fois n avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) au-dessus du dénominateur trait vertical ouvert(e) v avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) fois trait vertical ouvert(e) n avec flèche vers la droite au-dessus trait vertical fermé(e) fin de la fraction$