Resum geometria mètrica

3. Posició relativa entre recta i pla

Donats la recta i el pla d'equacions:

$r dos puntos abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda A subíndice 1 x más B subíndice 1 y más C subíndice 1 z más D subíndice 1 igual 0 fin celda fila celda A subíndice 1 x más B subíndice 1 y más C subíndice 1 z más D subíndice 1 igual 0 fin celda fin tabla cerrar espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio mayúscula pi dos puntos espacio A x más B y más C z más D igual 0$

per estudiar la seva posició relativa o podem veure de dues maneres:

a) Considerant les matrius

$M igual abrir paréntesis tabla fila celda A subíndice 1 fin celda celda B subíndice 1 fin celda celda C subíndice 1 fin celda fila celda A subíndice 2 fin celda celda B subíndice 2 fin celda celda C subíndice 2 fin celda fila A B C fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio M apóstrofo igual abrir paréntesis tabla fila celda A subíndice 1 fin celda celda B subíndice 1 fin celda celda C subíndice 1 espacio espacio menos D subíndice 1 fin celda fila celda A subíndice 2 fin celda celda B subíndice 2 fin celda celda C subíndice 2 espacio espacio menos D subíndice 2 fin celda fila A B celda C espacio espacio espacio espacio menos D fin celda fin tabla cerrar paréntesis$

Llavors:

	rang M	rang M'
Recta continguda en el pla	2	2
Recta i pla paral·lels	2	3
Recta i pla secants	3	3

Exemple:

b) A partir del vector director i un punt de la recta y el vector normal del pla:

recta r: vector director $u con flecha derecha encima$ , punt A

pla Π: vector normal $n con flecha derecha encima$

Recta continguda en el pla:

$negrita u con negrita flecha derecha encima negrita por negrita n con negrita flecha derecha encima negrita igual negrita 0 negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio bold italic i negrita espacio negrita espacio negrita espacio negrita espacio bold italic A negrita pertenece negrita pi$

Recta i pla paral·lels:

Recta i pla secants:

$negrita u con negrita flecha derecha encima negrita por negrita n con negrita flecha derecha encima negrita no igual negrita 0 negrita espacio$

Exemple

Com a cas particular de recta i pla secants es pot considerar el cas de recta i pla perpendiculars. La recta i el pla seran perpendiculars quan el vector

u con flecha derecha encima

director de la recta r , i el vector i el vector normal

n con flecha derecha encima

pla Π siguin paral·lels. O sigui:

$v con flecha derecha encima igual k n con flecha derecha encima$

O expressat en components:

$u con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo u subíndice 1 coma u subíndice 2 coma u subíndice 3 paréntesis derecho n con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo n subíndice 1 coma n subíndice 2 coma n subíndice 3 paréntesis derecho$ $fracción u subíndice 1 entre n subíndice 1 igual fracción numerador estilo mostrar u subíndice 2 fin estilo entre denominador estilo mostrar n subíndice 2 fin estilo fin fracción igual fracción numerador estilo mostrar u subíndice 3 fin estilo entre denominador estilo mostrar n subíndice 3 fin estilo fin fracción$

Exemple