Vectors de l'espai

1. Punts i vectors en l'espai

Punts i vectors en $normal números reales al cubo$

Un sistema de coordenades ortogonal en l'espai es construeix traçant 3 eixos perpendiculars entre sí.

Un vector $pila A B con flecha derecha encima$ és un segment orientat que va d'un punt A (origen) a un punt B (extrem)

Elements d'un vector:

Direcció: direcció de la recta que el conté.

Sentit: el que va de l'origen a l'extrem.

Mòdul: longitud del segment AB, es representa per $estilo tamaño 14px abrir barra vertical pila A B con flecha derecha encima cerrar barra vertical fin estilo$

Components d'un vector $pila A B con flecha derecha encima$

Si les coordenades dels punts A i B són:

$A paréntesis izquierdo x subíndice 1 coma y subíndice 1 coma z subíndice 1 paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio B paréntesis izquierdo x subíndice 2 coma y subíndice 2 coma z subíndice 2 paréntesis derecho$

Les components del vector $pila A B con flecha derecha encima$ són les coordenades de l'extrem menys les de l'origen.

$pila negrita A negrita B con negrita flecha derecha encima negrita igual negrita paréntesis izquierdo bold italic x subíndice negrita 2 negrita menos bold italic x subíndice negrita 1 negrita coma negrita espacio bold italic y subíndice negrita 2 negrita menos bold italic y subíndice negrita 1 negrita coma negrita espacio bold italic z subíndice negrita 2 negrita menos bold italic z subíndice negrita 1 negrita paréntesis derecho$

Exemple

Si les coordenades dels punts són:

$A paréntesis izquierdo 4 coma 5 coma menos 1 paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio espacio espacio B paréntesis izquierdo 9 coma 3 coma 1 paréntesis derecho$

Les components del vector $pila A B con flecha derecha encima$ són:

$pila A B con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo 9 menos 4 coma 3 menos 5 coma 1 menos paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho paréntesis derecho igual paréntesis izquierdo 5 coma menos 2 coma 2 paréntesis derecho$

Mòdul d'un vector

És la longitud del segment que el defineix.

El mòdul de un vector $v con flecha derecha encima igual paréntesis izquierdo v subíndice 1 coma espacio v subíndice 2 coma v subíndice 3 paréntesis derecho$ es representa per $abrir barra vertical v con flecha derecha encima cerrar barra vertical$ i es calcula:

$abrir barra vertical v con flecha derecha encima cerrar barra vertical igual raíz cuadrada de v subíndice 1 al cuadrado más v subíndice 2 al cuadrado más v subíndice 3 al cuadrado fin raíz$

Punt mitjà d'un segment

Les coordenades del punt mitjà, M, d'un segment d'extrems els punts A(a₁,a₂,a₃) i B(b₁,b₂,b₃) són:

$M abrir paréntesis fracción numerador a subíndice 1 más b subíndice 1 entre denominador 2 fin fracción coma fracción numerador a subíndice 2 más b subíndice 2 entre denominador 2 fin fracción coma fracción numerador a subíndice 3 más b subíndice 3 entre denominador 2 fin fracción cerrar paréntesis$

Observació:

El punt mitjà és el punt que divideix el segment en dues parts iguals.

En https://matematicasies.com/Divide-segmento-en-3-partes podeu veure un exemple de com trobar els punts que divideixen els segment en 3 parts iguals. I de manera anàloga es faria per trobar els punts que divideixen el segment en n parts iguals.