Vectors de l'espai

1. Punts i vectors en l'espai

Punts i vectors en 

Un sistema de coordenades ortogonal en l'espai es construeix traçant 3 eixos perpendiculars entre sí.

Un vector  és un segment orientat que va d'un punt A (origen) a un punt B (extrem)

   Elements d'un vector:  

    Direcció:  direcció de la recta que el conté.

    Sentit: el que va de l'origen a l'extrem.

    Mòdul:  longitud del segment AB, es representa per 

Components d'un vector 

    Si les coordenades dels punts A i B són:   

   Les components del vector   són les coordenades de l'extrem menys les de l'origen. 

   Exemple

         Si les coordenades dels punts són: 

          Les components del vector  són:

És la longitud del segment que el defineix. 

El mòdul de un vector   es representa per  i es calcula:

Punt mitjà d'un segment

Les coordenades del punt mitjà, M, d'un segment d'extrems els punts A(a₁,a₂,a₃) i B(b₁,b₂,b₃) són: 

Observació: 

El punt mitjà és el punt que divideix el segment en dues parts iguals. 

En https://matematicasies.com/Divide-segmento-en-3-partes podeu veure un exemple de com trobar els punts que divideixen els segment en 3 parts iguals. I de manera anàloga es faria per trobar els punts que divideixen el segment en n parts iguals.   

2. Operacions amb vectors

Suma de vectors

Multiplicació d'un vector per un nombre real 

 un nombre real 

Aquest vector  té: 

  Mòdul: el mòdul de  multiplicat pel valor absolut de k    

  Direcció: la mateixa que el vector       

  Sentit:  el mateix que el de   si k és positiu

                el oposat de   si k és negatiu 

Producte escalar de dos vectors

El producte escalar  de dos nombres és un nombre (un escalar) que s'obté:

                            on α és l'angle format pels vectors

Si sabem les components dels vectors:

Una de les utilitats del producte escalar és per saber si dos vectors són perpendiculars:

    dos vectors són perpendiculars si el seu producte escalar és 0 

Producte vectorial de dos vectors

El producte vectorial   de dos vectors és un vector que té: 

   - Mòdul:          on α és l'angle menor format pels vectors

   - Direcció:  perpendicular al vector  i al vector 

   - Sentit:  el d'avanç d'un llevataps que gira de  a  recorrent l'angle menor.

   Si sabem les components dels vectors, llavors podem obtenir les components del producte vectorial: 

Observació: 

   El producte escalar s'escriu amb punt i el resultat   és un nombre.

   El producte vectorial s'escriu amb creu i el resultat  és un vector.  

Aplicacions del producte vectorial

- Obtenció d'un vector perpendicular a dos donats. 

  Això ho utilitzarem molt en els següents temes de geometria. Per obtenir un vector perpendicular a dos vectors donats, farem el producte vectorial d'ells: 

- Àrea del paral·lelogram i del triangle. 

   Per tant, l'àrea del paral·lelogram és:

   I l'àrea del triangle serà la meitat de l'àrea del paral·lelogram: 

Producte mixt

El producte mixt de tres vectors  és un nombre que es calcula: 

Interpretació geomètrica del producte mixt: 

El valor absolut del producte mixt de tres vectors és el volum del paral·lelepípede construït sobre ells. 

3. Càlcul d'àrees i volums

4. Punts alineats i paral·lelisme

Com sé si 3 punts formen un triangle o estan alineats?

 "3 punts A, B, C no formen un triangle si estan alineats".

Si dibuixem 3 punts A, B i C que estan alineats (o sigui, sobre una mateixa recta), i dibuixem els vectors podem veure que aquests vectors tenen la mateixa direcció (o sigui, són paral·lels).

Recordem la condició de paral·lelisme (en qualsevol dimensió):

        La condició de paral·lelisme de dos vectors és que les components dels vectors siguin proporcionals, o sigui, que els vectors són linealment dependents:

         Això ho llegim així : dos vectors són paral·lels si i només si les seves components són proporcionals, o si i només si són linealment dependents

        o bé: dos vectors són paral·lels és equivalent a dir que les seves components són proporcionals i equivalent a dir que són linealment dependents.

        (Aquesta condició és la mateixa per components de vectors del pla, amb 2 components). 

El que  volem és que els 3 vectors siguin paral·lels, o sigui  dependents dos a dos, per tant el rang dels 3 vectors ha de ser 1.

5. Angle entre vectors

Angle que formen dos vectors

Per trobar l'angle  que formen dos vectors donats per les seves components, utilitzem el producte escalar:

i tenint el valor de del cosinus, amb la funció arc cosinus  trobem l'angle 

Observacions: 

- El valor del cosinus es deixa amb el signe que surti d'aplicar la fórmula. 

- La funció encara que molts de vosaltres escriviu cos^-1, és més correcte escriure arccos

- El arccos ho calculeu amb la calculadora (heu de fixar-vos si la teniu en radians o en graus

Angle que formen dues rectes de vectors directors

És diferent quan calculem l'angle entre dues rectes (ho farem en els següents lliuraments), perquè llavors si és pren l'angle més petit que formen, i llavors en la fórmula agafem el valor absolut del producte escalar.

Vectors perpendiculars

La condició perquè dos vectors siguin perpendiculars  és que el seu producte escalar sigui 0. 

(ho llegim així:  dos vectors són perpendiculars  és equivalent a dir que el seu producte escalar és 0)

Aquesta condició surt directament de la fórmula per trobar l'angle que formen 2 vector, ja que si són perpendiculars, l'angle que formen és de 90º, i cos 90l' = 0 però la destaco aquí per la importància  de la condició.

6. Dependència-independència vectors

Referent a dependència- independència de vectors, base de l'espai,...... tingueu clares aquestes proposicions: 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Siguin 3 vectors v₁, v₂, v₃ de l'espai

v₁, v₂, v₃ linealment independents rang {v₁, v₂, v₃} = 3  det(v₁,v₂,v₃)0

O, el que és mateix:

v₁, v₂, v₃ linealment dependents   rang {v₁, v₂, v₃} < 3  det(v₁,v₂,v₃)=0

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Siguin v₁, v₂, v₃ vectors de l'espai

v₁, v₂, v₃ formen base de R³ v₁, v₂, v₃ linealment independents rang {v₁, v₂, v₃} = 3  det(v₁,v₂,v₃)0

O, el que és mateix:

v₁, v₂, v₃ no formen base de R³  v₁, v₂, v₃ linealment dependents   rang {v₁, v₂, v₃} < 3  det(v₁,v₂,v₃)=0

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

4 vectors de l'espai (de R³) sempre són linealment dependents

Més general:

En l'espai, un conjunt de més de 3 vectors sempre és linealment dependents.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Qualsevol base de R³ està formada per 3 vectors linealment independents

7. Repàs vectors 2 i 3 dimensions

Els vectors de (2 dimensions, geometria en el pla) s'han estudiat en cursos anteriors. 

Aquí teniu uns enllaços en cas que vulgueu repassar alguna cosa dels vectors:

Vectors de :

• Actividades sobre vectores en el plano
•  Materiales didácticos Descartes: vectores en el plano

Vectors de 

• Materials didàctics Descartes: vectores en el espacio