Matrius i determinants

1. Matrius

Definició

Una matriu és un conjunt d'elements disposats en files i columnes.

Diem que una matriu és d'ordre (o dimensió) nxm si té n files i m columnes.  Podem escriure també (n,m)

Normalment la representem amb una lletra majúscula i els seus elements amb la mateixa lletra minúscula i amb dos subíndexs, el primer indica la fila i el segon la columna a la qual pertany l'element.

Exemples

        A és una matriu 2x2     
                                   

      B és una matriu 2x3      

      C és una matriu 3x2

Igualtat de matrius

Dues matrius són iguals si tenen el mateix ordre i els elements de la mateixa fila i a la mateixa columna en les dues matrius, són iguals. 

2. Tipus de matrius

Matriu quadrada.
Són matrius d'ordre nxn,  és a dir que tenen el mateix nombre de files que de columnes.
Podem dir matriu quadrada d'ordre n
Els element a₁₁, a₂₂,......, a_nn  formen la diagonal principal.
Exemple:

    és una matriu quadrada d'ordre n

(en negreta els elements de la diagonal principal)       

Matriu fila.
Són matrius que només tenen una fila, o sigui, són de dimensió 1xm
Exemple:

Matriu columna.
Són matrius que només tenen una columna, o sigui, són de dimensió nx1
Exemple:

Matriu triangular (superior o inferior).
Són matrius quadrades en les quals tots els element situats per sota o per sobre de la diagonal són 0.
Exemple:

   és triangular superior.    

Matriu diagonal.
Matriu quadrada en la qual tots les elements situats a fora de la diagonal són 0
Exemple:

Matriu identitat.
Matriu diagonal en la qual tots els elements de la diagonal són 1. Se simbolitza per I.
Exemple:

Matriu nul·la o matriu zero.
Tots els seus elements són 0.
Exemple:

Matriu transposada.
La matriu transposada A^t d'una matriu A és la que s'obté intercanviant les seves files per les seves columnes.
Podem escriure A^t  o  A^T  o   ^tA

Si la matriu A és d'ordre (n,k),  la matriu transposada A^t és d'ordre (k,n)

Exemple

A és d'ordre (2,3),  A^t és d'ordre (3,2)

Matriu simètrica.
Una matriu A diem que és simètrica si és igual a la seva transposada.

   A és simètrica si  A = A^t                     

Matriu esglaonada.
Són matriu en què tots els element per sota de la "diagonal" són 0 (posem "diagonal" ja que en propietat només es pot parlar de diagonal en matrius quadrades però en aquest ho fem extensiu a matrius no quadrades.  

Exemple:

3. Operacions amb matrius

Suma de matrius.

Per tal que dues matrius es puguin sumar han de ser del mateix ordre. 

Donades dues matrius del mateix ordre , la matriu suma de A i B és la que s'obté de la suma de cada terme de A amb el corresponent de B:

Exemple

Observació:

La resta de dos matrius la considerem com:

       sent  la matriu oposada a la B, que és la matriu B canviats de signe tots els seus elements

Producte d'un nombre per una matriu.

Es multiplica cada element de la matriu pel nombre. 

Exemple

Producte de matrius.

La condició per tal que dues matrius es puguin multiplicar és que el nombre de columnes de la primera matriu sigui igual al nombre de files de la segona matriu.

O sigui, per poder fer el producte A·B, la condició és:

            nombre de columnes de A  =  nombre files de B

I llavors:

   A és de dimensió m x k
   B és de dimensió k x n
        =>   A·B és de dimensió m x n

Per exemple, si multipliquem una matriu A  3x3 per una  B 3x2,  el producte A·B es pot fer i és una matriu de dimensió  3x2   (el producte B·A no seria possible).

Important: El producte de matrius no és commutatiu.

Obtenció de la matriu producte.

a) Primer veiem el producte d'una matriu fila F₁  per una matriu columna C₁

Exemple

b) Cas general: producte d'una matriu A d'ordre (n,m) per una matriu B d'ordre (m,k)

Exemple 1

A ordre (1,3), B ordre (3,2)   =>    A·B ordre (1,2)

Exemple 2

A ordre (2,3), B ordre (3,2)   =>    A·B ordre (2,2)

Exemple 3

A ordre (3,3), B ordre (3,2)   =>    A·B ordre (3,2)

Observació: En els exemples 1 i 3  no és possible fer el producte B·A

Potència d'una matriu.

Expressem com a  el producte de la matriu A per ella mateixa n vegades.  O sigui:

Observacions: 

- Per poder fer , la matriu A ha de ser quadrada. 

- Per calcular A³  primer calcularem A² i desprès podem fer   o      

Vídeo producte de matrius

4. Esglaonar una matriu

Esglaonar una matriu és obtenir una matriu esglaonada aplicant transformacions elementals. 

Les transformacions elementals en una matriu són aquestes (i només aquestes): 

 -  Intercanviar files. Per exemple   

 - Multiplicar una fila per un nombre diferent de zero. Per exemple 

   En particular podem canviar una fila de signe.   Per exemple 

 - Sumar a una fila altra fila multiplicada per un nombre . Per exemple 

 (Aquestes operacions es poden fer també amb les columnes).  

Fem transformacions elementals, la matriu canvia però obtenim matrius equivalents que vol dir que no són iguals però tenen el mateix rang.

Exemple 1

Esglaonar la matriu 

Sempre ens facilita els càlculs Si el primer element de la matriu és "1", per això podem canviar l'ordre de les files

 (en l'apartat següent estudiarem el rang: El rang d'aquesta matriu és 2)

Exemple 2

Esglaonar la matriu 

(En aquest cas no tenim cap "1" en la primera columna)

  (en l'apartat següent estudiarem el rang: El rang d'aquesta matriu és 3)

Exemple 3

Esglaonar la matriu 

Veurem aquest cas en què l'esglaonament ens queda una mica diferent. Ho resolem així:

En aquest cas el que fem és que intercanviem les dues últimes files, obtenint ja una matriu esglaonada:

 (en l'apartat següent estudiarem el rang: El rang d'aquesta matriu és 3)

Observació:  entre pas i pas dels esglaonaments he posat el símbol

                     Podem posar  ,  ; ,  res,    però mai el símbol d'igualtat = ja que les matrius no són iguals.  

Vídeo Esglaonar matriu

5. Rang d'una matriu

El rang d'una matriu és el nombre de files (o columnes) independents que té la matriu.

I que vol dir que les files siguin independents?

Si, per exemple, tenim la matriu

Veiem que la fila 3 la podem obtenir combinant les altres dues files:

F3 = 3F₁ - F₂

Es diu que la fila 3 és combinació lineal de la fila 1 i la fila 2. O també es diu que la fila 2 és depenent de la 1 i la 2.

Llavors el rang d'aquesta matriu serà 2 ja que hi ha 2 files independents.

A vegades es pot veure a ull, però normalment el que fem és esglaonar la matriu (amb combinacions lineals de les files fer zeros sota la diagonal) i llavors per veure el rang:

El rang d'una matriu esglaonada és el nombre de files no nul·les.

Fem transformacions elementals per esglaonar la matriu: 

Per tant, com que queden dues files no nul·les, el rang és 2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

El mètode de calcular el rang és general per qualsevol matriu sigui de l'ordre que sigui.

El procediment és fer transformacions elementals pe esglaonar la matriu (obtenir zeros sota la diagonal, veieu l'apartat 3:esglaonar una matriu) i contar el nombre de files no nul·les.

(també es pot fer veient els menors complementaris d'ordre més gran diferent de zero, però considero que en general és un mètode amb més dificultat)

Per exemple:

rang de la matriu 

(he marcat en blau el que es diuen "els pivots", amb els que "fem zeros" les files de sota)

Aquesta matriu té rang 3

Altre exemple:

rang de la matriu 

Ara fent un canvi de fila ja tindrem la matriu esglaonada:

El rang de la matriu és 4

Vídeos:

6. Error freqüent (i greu) en el càlcul de rangs

Quan es calcula el rang d'una matriu sovint es comet un error greu. És referent a les transformacions elementals en una matriu. Recordeu que les transformacions elementals conserven el rang de la matriu. L'error és fer això:

NO!

Això no és correcte perquè els passos s'han de fer d'un en un. És a dir, si en la segona fila fem F2-F3, ens quedarà:

I encara que ara en aquesta nova matriu féssim la tercera fila menys la segona, no se'ns anul·laria. Per tant el que s'ha de fer és esglaonar la matriu pas a pas.És a dir, quan tenim

les dues primeres files les deixem i ara "fem un zero" combinant la tercera amb la 2a:

i, per tant, el rang de la matriu és 2.

De la mateixa manera no és correcte, per exemple, aquest pas ( o alguna cosa similar):

NO!

(si això es pogués fer sempre podríem arribar a rang 1 !)

7. Adjunt d'un element d'una matriu

Donada la matriu

Calcularem l'adjunt de l'element a₂₁ = -2

Primer calculem el seu menor complementari.

El menor complementari de l'element  a₂₁ = -2   (és l'element de la fila 2 y columna 1)   és el determinant de la matriu eliminant la seva fila (la 2) y la seva columna (la 1). 

M₂₁ =  

   i segons la regla de signes 

li toca canvi de signe per obtenir l'adjunt.

Per tant, l'adjunt de l'element  a₂₁ = -2    és   - 4

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Un altre exemple amb una matriu quadrada d'ordre 2:

En la matriu 

lPer exemple, calcularem adjunt de l'element  a₂₁ =  -1

 Eliminem la fila (la segona) i columna (la primera) d'aquest element: ens queda 2.

I ara segons la regla de canvi de signe , ens diu que hem de canviar de signe.

Per tant l'adjunt de l'element a₂₁ =  -1  és -2

8. Determinants d'ordre 2 i 3

La forma més pràctica de calcular un determinant d'ordre 2 o 3 és aplicant la Regla de Sarrus. 

(recordeu que només es pot calcular el determinant d'una matriu quadrada (igual nombre de files que columnes). 

Determinant d'una matriu 2x2

  Exemple

 Determinant d'una matriu 3x3  

Exemple: 

Calcular el determinant de la matriu 

Ho resolem en aquest vídeo on podreu veure més clarament com es calcula:   

9. Determinants ordre > 3

Encara que pràcticament ens limitarem als determinants d'ordre 2 i als d'ordre 3 (per Sarrus), explicarem com calcular determinants de qualsevol ordre.

Els determinants d'una matriu d'ordre més gran que 3 els hem de fer desenvolupant el determinant per una fila o columna.

El determinant és la suma dels productes dels elements d'una fila o columna multiplicada pels seus adjunts corresponents.

Exemple:

Calcular el determinant d ela matriu   

Desenvolupem, per exemple, per la primera fila. 

Hem d'agafar els menors complementaris de cada element de la primera fila:

Menor complementari de l'element a₁₁ = -2    

Menor complementari de l'element a₁₂ = 0    

Menor complementari de l'element a₁₃ = 1    

Menor complementari de l'element a₁₄ = 2    

Ara, formem els adjunts, que simplement és igual al menor complementari o canviat de signe.

Es fa canvi  de signe o no segons la regla de signes alternats     

O sigui, els menors complementaris dels element de la primera fila són: 

M₁₁ =  m₁₁ = 17

M₁₂ =  - m₁₂ =  -15 

M₁₃ =  m₁₃ = -18

M₁₄ = - m₁₃ = - (-31) = 31

I ara ja simplement:

Observacions:

-  Aquest determinant ho hem calculat desenvolupant per la primera fila. Ho podríem haver fet amb qualsevol fila o columna (com a exercici ho podeu fer amb altra fila o columna i comprovar que us dóna el mateix). 

- Aquest mètode serveix per calcular qualsevol determinant. també els d'ordre 3 però normalment els fem per Sarrus. 

- Fixeu-vos en l'exerici que l'adjunt M₁₂ no calia calcular-lo, ja que multipliquem per l'element 0. Aixó ens indica que serà més senzill (de càlcul) si agafem una fila o columna que tingui zeros (si la hi ha).           

10. Inversa d'una matriu

Definició

 Donada una matriu quadrada A, la seva matriu inversa A^-1, si existeix, és la matriu que compleix:

on I és la matriu Identitat (1's en la diagonal, 0 els altres) .

La condició per tal que una matriu sigui invertible (tingui inversa) és que el seu determinant no sigui 0: 

o bé també ho podem veure amb els rangs: una matriu d'ordre nxn és invertible si el seu rang és n

En els següents subapartats podeu veure exemples de diferents maneres de trobar la inversa d'una matriu.             

Observació: en la notació A^-1 no actua com a exponent, és simplement una manera d'expressar la inversa  

10.1. Inversa d'una matriu 2x2

Calculem la inversa de la matriu

Ho fem de 3 maneres diferents.

(Per matrius 3x3 seria similar però quedarà una mica més llarg d'operacions)

- Utilitzant el determinant i els adjunts de la transposada.

  Calcular la inversa de 

    Determinant:  

    Transposada de la matriu A:    

    Matriu d'adjunts de  :

  Per tant:  

· Plantejant un sistema d'equacions:

    Calcular la inversa de 

  Volem una matriu X tal que 

  És a dir:

                    Per tant: 

· Pel mètode de Gauss-Jordan

    Calcular la inversa de 

  De fet és el mateix que hem fet a dalt però ho expressem en forma matricial. 

  Es tracta de plantejar la matriu ampliada formada per la matriu i la matriu identitat. És a dir:

   Hem de fer transformacions elementals fins que en la part esquerra ens quedi la matriu identitat:  

    Per tant:      

10.2. Inversa d'una matriu 3x3

Podeu veure aquests dos vídeos de càlcul de la inversa pel mètode que potser és més pràctic en el cas de matrius 3x3

Vídeo 1

Inversa d'una matriu 

Vídeo 2

Calculeu ara vosaltres la inversa de la matriu 

i comproveu el resultat en aquest vídeo:

11. Sistemes matricials

Amb matrius treballem de manera semblant que amb números: 

Exemples:

fixeu-vos que -B s'btindrà canviant de signe tots els element de B

I per exemple, 5A és la matriu que s'obté de multiplicar tots els elements per 5

En aquest exemples per aïllar la matriu X simplement fem: 

El cas que sí canvia una mica és quan tenim     o         

Fixeu-vos que en matrius no tenim l'operació quocient de matrius. No podem fer A/B

Farem un exemple per explicar dues maneres diferents de fer-ho. 

Exemple      

Mètode 1: Plantejant el sistema.

Primer de tot hem de pensar de quin ordre ha de ser la matriu X que busquem:

   A és 2x2,  B és 2x3  →   X és 2x3 

                                                2 files per tal que es pugui multiplicar per A que té 2 columnes

                                                3 columnes ja que ha de donar una matriu de 3 columnes

   Per tant, la matriu X serà de la forma: 

   El sistema que es planteja és:   

   Multiplicant tenim:

  Igualem element a element i plantegem 3 sistemes d'equacions.

   Resolent aquests sistemes trobem que 

    a=-1    c=4   e=1     

    Per tant:

· Amb la inversa de la matriu A (Si la matriu A és invertible) 

  Primer de tot fixeu-vos en la diferència de tenir      o     

          En aquest cas multipliquem per l'esquerra (això és important!) tota l'equació per la inversa de A:

           A^-1·A·X = A^-1·B 

            Com que  A^-1·A= I  (matriu identitat):

           X = A^-1·B          

          En aquest cas multipliquem per la dreta tota l'equació per la inversa de A

          XA·A^-1= B·A^-1

          Com que  A·A^-1= I  (matriu identitat):

          X = B·A^-1

En el cas de l'exemple volem la matriu X  tal que A·X=B 

Per tant:

    Ara necessitem A^-1 (l'hem calculat en Inversa d'una matriu 2x2 )

    Per tant: 

Observació: Si la matriu A no té inversa obligatòriament ho hem de fer plantejant un sistema d'equacions. 

Aquí teniu un vídeo amb un exemple: