LL5_Problemes d'optimització

Problemes optimització funció 1 variable

Exemple 2

El nombre d'unitats d'un article fabricades cada mes, x, influeix en el preu en euros de cada unitat segons la funció:

$bold italic P bold left parenthesis bold italic x bold right parenthesis bold equals bold 580 bold minus bold x to the power of bold 2 over bold 16000$

Sabent que la fabricació té unes despeses fixes de 250000 euros i unes despeses variables de 125 euros per cada unitat produïda:

a) Trobeu la fórmula de la funció B(x) que expressa el benefici obtingut per la venda de x unitats (ingressos obtinguts menys despeses totals)

Obtenim els ingressos, I(x), multiplicant el nombre d'unitats pel seu preu, x.

$I left parenthesis x right parenthesis equals x times open parentheses 580 minus x squared over 16000 close parentheses equals 580 x minus x cubed over 16000$

Les despeses són:

$D left parenthesis x right parenthesis equals 250000 plus 125 x$

La funció benefici és:

$B left parenthesis x right parenthesis equals I left parenthesis x right parenthesis minus D left parenthesis x right parenthesis equals 580 x minus x cubed over 16000 minus 250000 minus 125 x box enclose space B left parenthesis x right parenthesis equals 455 x minus x cubed over 16000 minus 250000 space space end enclose$

b) Calculeu quantes unitats cal fabricar per obtenir el màxim benefici.

Per obtenir el màxim d'aquesta funció, fem la derivada i la igualem a zero:

$B apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals 455 minus fraction numerator 3 x squared over denominator 16000 end fraction equals 0 space space space space space space space space space space space space space space fraction numerator 3 x squared over denominator 16000 end fraction equals 455 space space rightwards double arrow space space x squared equals fraction numerator 455 times 16000 over denominator 3 end fraction space space space rightwards double arrow space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space x equals plus-or-minus square root of fraction numerator 455 times 16000 over denominator 3 end fraction end root equals plus-or-minus 1557 comma 78 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space box enclose space space x equals 1558 space space end enclose$

Observació: l'equació B'(x)=0 té dues solucions: ±1557,78 però agafem només la positiva ja que ha de ser un nombre natural i hem d'agafar el nombre enter més pròxim a 1557,78 que ens doni benefici màxim. Si calculem B(1558) i B(1557) veiem que B(1558)>B(1557). Per tan, la solució és 1558 unitats.

I podem comprovar que, efectivament, és un màxim:

$B apostrophe apostrophe left parenthesis x right parenthesis equals negative fraction numerator 6 x over denominator 16000 end fraction B apostrophe apostrophe left parenthesis 1558 right parenthesis less than 0 space space rightwards double arrow space space space és space màxim$