Resum operacions funcions i interpolació

Operacions amb funcions

Suma i resta de funcions

• , el seu domini serà la intersecció dels dominis de les dues funcions, és a dir els punts en comú dels dos dominis. 
• , el seu domini serà la intersecció dels dominis de les dues funcions, és a dir els punts en comú dels dos dominis. 
  
  

Exemple

Producte de funcions

, el seu domini serà la intersecció dels dominis de les dues funcions, és a dir els punts en comú dels dos dominis.  

Exemple

Quocient de funcions

• , el seu domini serà
  

Observeu que cal per tal que el quocient tingui sentit.

Exemple

Composició de funcions

A més de les operacions aritmètiques, tenim una operació diferent que mereix una especial atenció: la composició de funcions.

Donades dues funcions f(x) i g(x) definim la funció f composta amb g com la funció que resulta d'aplicar primer la funció f i a la imatge resultant aplicar-li g. Aquesta composició es notarà matemàticament 

Atenció! observeu que es llegeix primer la funció que està escrita més a la dreta, perquè és la que s'aplica en primer lloc.

El domini de la funció composició estarà formada per tots els punts del domini de f que tenen la imatge dins del domini de g.

Cal tenim en compte que aquesta operació NO és commutativa, és a dir: en general no és el mateix f composta amb g que g composta amb f.

Exemple

Considerem   i

Llavors com és la funció

Apliquem la definició:

Observem que hem fet:

• primer apliquem f a x:
• ara cal aplicar g però a a la variable x²-1 , per tant cal canviar la x de la funció g per x² -1 i fer les operacions que la g indica.

Feu ara al quadern   Dona el mateix que abans?

Funció inversa

La funció inversa de f  respecte a la composició és l'única funció que, en cas d'existir,  verifica

És a dir:

No sempre existeix la funció inversa, només per a les funcions injectives.

Característiques importants de la funció inversa:

• el domini de la funció inversa coincideix amb la Imatge de la funció
• la imatge o recorregut de la funció coincideix amb el domini de la funció
• les gràfiques respectives d'una funció i la seva inversa són simètriques respecte a la recta y=x (bisectriu del primer i tercer quadrant)
  

Com es calcula la funció inversa?

Què farem per calcular la funció inversa d'una funció f si en coneixem la seva expressió analítica?

Podem seguir aquests passos:

• Igualem l'expressió de f a y.
• Aïllem la x de l'equació anterior en funció de y.
• Canviem la y per la x i ja tenim la inversa.

Vegem un exemple:

Considerem la funció 

• Igualem l'expressió a y:   
• Aïllem la x en funció de y:   
• Canviem la x per la y i li diem f⁻¹ a l'expressió resultant:

Per provar que hem trobat correctament la inversa farem les dues composicions i veurem que donen  x.

Exemples de funció inversa

La funció inversa de      és la funció     

    Comprovació: 

     La idea és que si la funció f suma 20, per tornar al valor inicial la funció inversa resta 20.   

     Per exemple,  

                La inversa és la que del 25 ens torna al 5:                       

La funció inversa de         és la funció    

La funció inversa de     és la funció    

Exemple de càlcul

Calculem la funció inversa de 

        Canviarem f(x) per y:             

Aïllem x: 

Canviem x per y :            

Per tant, la funció inversa és:   

La gràfica d'una funció i la de la seva inversa són simètriques respecte  la bisectriu del primer quadrant. 

Interpolació

A branques de la ciència és habitual recollir valors que provenen de l'observació de dues variables. Si tenim un conjunt de parelles de punts: (x₁, y₁); (x₂, y₂);.....(x_n, y_n) pot ser convenient trobar una funció que els relacioni i d'aquesta manera utilitzar-la per trobar parelles de valors diferents als observats.

Així diem funció d'interpolació a una funció que s'ajusta als parells de punts observats.

A partir d'aquesta funció es pot predir el resultat d'altres resultats substituint la x en la funció i obtenint-ne la y.

• Si el valor de la x està entre els que hem observat direm que estem interpolant.
• Si el valor de la x és més gran o més petit que qualsevol dels observats direm que estem extrapolant.

Problema d'interpolació lineal

Amb l'ajuda de la interpolació lineal calculeu:

a) L'equació de la recta d'interpolació lineal.

b) Quina serà la despesa si el consum és de 250 Kwh ?

    Els valors més propers a 250 kwh són (200kwh, 40€) i  (300kwh, 60€). 

    Per tant, tenim els punts de la recta (200,40) i (300,60) que han de complir l'equació:

Per tant, la recta és:

b) Ara cal fer l'estimació en x= 250 kwh 

      Es substitueix en x= 250 i s'obté y = 0,2 · 250 = 50€

      S'estima que 250 kwh costaran 50 €

     Els valors més propers a 20€ són (150kwh, 30€) i  (200kwh, 40€)

     Per tant, tenim els punts de la recta (200,40) i (300,60) que han de complir l'equació:

Representació gràfica de la situació:

Vídeo interpolació