Nombres reals i equacions

lloc:	Cursos IOC - Batxillerat
Curs:	Matemàtiques aplicades a les C. socials I (Bloc 1) ~ gener 2020
Llibre:	Nombres reals i equacions

Imprès per:	Usuari convidat
Data:	diumenge, 5 de maig 2024, 23:19

Descripció

Resum amb conceptes bàsics i exemples

Operar amb enters

Suma

$obre parèntesis més 3 tanca parèntesis més obre parèntesis més 6 tanca parèntesis igual 3 més 6 igual més 9$

$obre parèntesis menys 3 tanca parèntesis més obre parèntesis menys 6 tanca parèntesis igual menys 3 menys 6 igual menys 9 obre parèntesis menys 3 tanca parèntesis més parèntesi esquerre més 6 parèntesi dret igual menys 3 més 6 igual 3 3 més parèntesi esquerre menys 6 parèntesi dret igual 3 menys 6 igual menys 3$

Observeu que si un enter és positiu, no cal especificar el signe +

No sempre és necessari posar tants parèntesis:

si sumen 3 i 6 podem posar directament: $3 més 6 igual 9$

si sumen 3 i -6 sí cal posar: $3 més parèntesi esquerre menys 6 parèntesi dret igual menys 3$ encara que també podem posar directament $3 menys 6 igual menys 3$

Atenció: el que no és correcte és posar: $3 més menys 6$

Resta

Per restar dos nombres enters cal sumar al primer l'oposat del segon. Per exemple:

$obre parèntesis més 3 tanca parèntesis menys obre parèntesis menys 6 tanca parèntesis igual obre parèntesis més 3 tanca parèntesis més obre parèntesis més 6 tanca parèntesis igual 3 més 6 igual 9$

$obre parèntesis més 3 tanca parèntesis menys obre parèntesis més 6 tanca parèntesis igual obre parèntesis més 3 tanca parèntesis més obre parèntesis menys 6 tanca parèntesis igual 3 menys 6 igual menys 3$

Tot i que es pot fer de diverses formes, si hem de fer diverses sumes i restes seguides és aconsellable primer sumar els nombres del mateix signe i finalment fer la resta.

Exemple:

$obre parèntesis més 3 tanca parèntesis menys parèntesi esquerre més 4 parèntesi dret més parèntesi esquerre menys 7 parèntesi dret més parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret menys parèntesi esquerre més 3 parèntesi dret més parèntesi esquerre més 12 parèntesi dret igual$ de moment eliminem els parèntesis vigilant els signes

$igual espai 3 menys 4 menys 7 menys 2 menys 3 més 12 igual$ ara sumem d'una banda tots els positius i per l'altra tots els negatius
$igual espai 3 menys 4 menys 7 menys 2 menys 3 més 12 igual espai 15 menys 16 espai igual menys 1$

Multiplicació

Per indicar-la multiplicació ho podem indicar com $a negreta multiplicació en creu b$ o com ho indiquem normalment en batxillerat $a negreta per bold italic b$

Per multiplicar dos nombres enters

1r - Multipliquem els seus valors absoluts.
2n - Posem el signe positiu (+) al resultat obtingut si els dos factors són del mateix signe, i el signe – si els dos factors tenen diferent signe.

$parèntesi esquerre més parèntesi dret per parèntesi esquerre més parèntesi dret igual més espai espai espai espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre més parèntesi dret per parèntesi esquerre menys parèntesi dret igual menys parèntesi esquerre menys parèntesi dret per parèntesi esquerre menys parèntesi dret igual més espai espai espai espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre menys parèntesi dret per parèntesi esquerre més parèntesi dret igual menys$

Exemples:

$parèntesi esquerre més 4 parèntesi dret per parèntesi esquerre més 3 parèntesi dret igual més 12 parèntesi esquerre menys 5 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 8 parèntesi dret igual més 40 parèntesi esquerre més 60 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret igual menys 60 parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre més 8 parèntesi dret igual menys 16$

o posant només els signes i parèntesis que són necessaris:

$4 per 3 igual més 12 menys 5 per parèntesi esquerre menys 8 parèntesi dret igual 40 60 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret igual menys 60 parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per 8 igual menys 16$

En cas que tingueu dubte de si és obligatori posar parèntesis o no, poseu-lo.

El que no és correcte és, per exemple, posar $2 per menys 6$ mai es poden posar dos signes seguits sense parèntesi

Recordeu que qualsevol nombre multiplicat per 0 és 0: $a per 0 igual 0$

Divisió

Per indicar-la divisió ho podem indicar com $a dos punts b$ o com normalment ho indicarem en batxillerat $fracció a entre b$

1r - Es divideixen els seus valors absoluts.
2n - Es posa positiu si tenen el mateix signe i negatiu si tenen signe diferent.

$fracció més entre més igual més espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció més entre menys igual menys fracció menys entre menys igual més espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció menys entre més igual menys$

Exemples:

$fracció 12 entre 3 igual 4 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció numerador 60 entre denominador menys 2 fi fracció igual menys 30 fracció numerador menys 40 entre denominador menys 8 fi fracció igual 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció numerador menys 16 entre denominador 8 fi fracció igual menys 2$

Els múltiples d'un nombre n són els nombres de la forma n·x essent x qualsevol nombre enter. Exemples: són múltiples de 3 els nombres 6, 9,12, -3, -6, ...

Els nombres racionals són els que es poden escriure en forma de fracció d'un enter per un altre enter no nul.

Una fracció es representa per dos nombres enters que s'anomenen numerador i denominador:

fracció numerador n u m e r a d o r entre denominador d e n o m i n a d o r fi fracció

En una fracció $fracció a entre b$ el denominador b expressa en quantes parts iguals s'ha dividit la unitat i el numerador a expressa quantes parts agafem.

Dues fraccions $fracció a entre b$ i $fracció c entre d$ són equivalents (tenen igual valor) si $a per d igual b per c$ .

Exemple: $fracció 15 entre 10$ i $fracció 9 entre 6$ són equivalents ja que 15·6=10·9.

Simplificar una fracció és convertir-la en una altra d'equivalent, més senzilla. Per simplificar es divideix el numerador i el denominador pel mateix nombre. Exemple: La fracció simplificada de $estil mida 14px fracció 6 entre 4 fi estil$ és $estil mida 14px fracció 3 entre 2 fi estil$

La fracció irreductible és la fracció que no es pot simplificar més. Una fracció és irreductible si el numerador i denominador són primers entre ells, és a dir si no tenen divisors comuns llevat de l'1. Exemple: 3/2, 35/6, 8/9.

Sumar o restar fraccions.

a) Si les fraccions tenen el mateix denominador.

En aquest cas la fracció resultat té el mateix denominador i el numerador és la suma (o resta) dels numeradors

$fracció a entre c més fracció b entre c igual fracció numerador a més b entre denominador c fi fracció$

Exemples:

$fracció 2 entre 3 més fracció 5 entre 3 igual fracció numerador 2 més 5 entre denominador 3 fi fracció igual fracció 7 entre 3 1 cinquè menys fracció 3 entre 5 igual fracció numerador 1 menys 3 entre denominador 5 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 5 fi fracció fracció 2 entre 3 menys fracció numerador menys 5 entre denominador 3 fi fracció igual fracció numerador 2 menys parèntesi esquerre menys 5 parèntesi dret entre denominador 3 fi fracció igual fracció numerador 2 més 5 entre denominador 3 fi fracció igual fracció 7 entre 3 fracció 3 entre 2 menys 1 mig més fracció 5 entre 2 igual fracció numerador 3 menys 1 més 5 entre denominador 2 fi fracció igual fracció 7 entre 2$

b) Si les fraccions tenen diferent denominador.

Cal escriure les fraccions equivalents que tinguin comú el denominador i després procedir com en el cas anterior.

Exemple:

$fracció 2 entre 3 menys fracció 5 entre 7 igual fracció numerador 2 per 7 entre denominador 3 per 7 fi fracció menys fracció numerador 5 per 3 entre denominador 7 per 3 fi fracció igual fracció 14 entre 21 menys fracció 15 entre 21 igual fracció numerador 14 menys 15 entre denominador 21 fi fracció igual fracció numerador menys 1 entre denominador 21 fi fracció$

O per obtenir 14/21 també ho podeu pensar així:

el mínim comú múltiple del denominadors és m.cm(3,7)=3·7=21

cada numerador es multiplica pel resultat de dividir el m.c.m entre el seu denominador:

$fracció 2 entre 3 espai espai espai espai fletxa dreta fracció numerador 2 per ? entre denominador 21 fi fracció$

com que 21/3=7 $fletxa doble dreta espai espai espai fracció numerador 2 per 7 entre denominador 21 fi fracció igual fracció 14 entre 21$

O podem pensar també que cada numerador ho multipliquem pels altres denominadors.

Exemples:

$fracció 5 entre 2 menys fracció 3 entre 5 igual fracció numerador 5 per 5 menys 3 per 2 entre denominador 2 per 5 fi fracció igual fracció numerador 25 menys 6 entre denominador 10 fi fracció igual fracció 19 entre 10 fracció 3 entre 5 menys fracció 7 entre 3 més 1 mig igual fracció numerador 3 per 3 per 2 menys 7 per 5 per 2 més 1 per 5 per 3 entre denominador 5 per 3 per 2 fi fracció igual fracció numerador 18 menys 70 més 15 entre denominador 30 fi fracció igual fracció numerador 33 menys 70 entre denominador 30 fi fracció igual fracció numerador menys 37 entre denominador 30 fi fracció$

$2 menys fracció 5 entre 3 igual fracció 2 entre 1 menys fracció 5 entre 3 igual fracció numerador 2 per 3 menys 1 per 5 entre denominador 3 fi fracció igual fracció numerador 6 menys 5 entre denominador 3 fi fracció igual 1 terç$

Multiplicar fraccions

Per multiplicar fraccions multipliquen numeradors i multipliquem denominadors.

$fracció a entre b per fracció c entre d igual fracció numerador a per c entre denominador b per d fi fracció$

Exemples

$fracció 2 entre 3 per fracció 5 entre 4 igual fracció numerador 2 per 5 entre denominador 3 per 4 fi fracció igual fracció 10 entre 12 igual fracció 5 entre 6 5 per fracció 2 entre 7 igual fracció 5 entre 1 per fracció 2 entre 7 igual fracció numerador 5 per 2 entre denominador 1 per 7 fi fracció igual fracció 10 entre 7 fracció 2 entre 5 per 1 terç per fracció 7 entre 2 igual fracció numerador 2 per 1 per 7 entre denominador 5 per 3 per 2 fi fracció igual fracció 14 entre 30 igual fracció 7 entre 15 fracció 2 entre 5 per obre parèntesis menys fracció 4 entre 3 tanca parèntesis igual fracció numerador 2 per parèntesi esquerre menys 4 parèntesi dret entre denominador 5 per 3 fi fracció igual fracció numerador menys 8 entre denominador 15 fi fracció$

En aquest exemple també podem posar directament:

$fracció 2 entre 5 per fracció numerador menys 4 entre denominador 3 fi fracció igual fracció numerador menys 8 entre denominador 15 fi fracció$ però no podem posar $ratllat diagonal cap avall diagonal cap amunt fracció 2 entre 5 negreta per negreta menys fracció 4 entre 3 fi ratllat$

Dividir fraccions

Multipliquem "en creu" les dues fraccions. És a dir

$fracció a entre b dos punts fracció c entre d igual fracció numerador a per d entre denominador c per b fi fracció$

Exemples

$fracció 5 entre 12 dos punts fracció 2 entre 7 igual fracció numerador text 5·7 fi text entre denominador 12 per 2 fi fracció igual fracció 35 entre 24$
$fracció 5 entre 8 dos punts fracció numerador obre parèntesis menys 15 tanca parèntesis entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 5 per 2 entre denominador 8 per obre parèntesis menys 15 tanca parèntesis fi fracció igual menys fracció 10 entre 120 igual menys fracció 1 entre 12$

La potència aⁿ és el producte de la base (a) per si mateixa tants cops com indica l'exponent (n).

$a^{n}=a \times a \times .... \times a$

$\left( \frac{a}{b} \right)^{n}= \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Per calcular el valor d'una potència amb base negativa cal tenir en compte la llei dels signes de la multiplicació. Així podem resumir que:

Si la base és positiva la potència sempre és positiva: (positiu)^exponent= positiu

Si la base és negativa i l'exponent parell el resultat és positiu: (negatiu)^parell= positiu
Si la base és negativa i l'exponent senar el resultat és negatiu: (negatiu)^senar= negatiu

Exemples:

$estil mida 14px parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret al quadrat igual parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret igual més 4 fi estil$
$estil mida 14px parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret al cub igual parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret igual menys 8 fi estil$
$estil mida 14px parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret elevat a 4 igual parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret igual més 16 fi estil$
$estil mida 14px parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret elevat a 5 igual parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret igual menys 32 fi estil$
$estil mida 14px obre parèntesis fracció 3 entre 4 tanca parèntesis al quadrat igual fracció 3 al quadrat entre 4 al quadrat igual fracció 9 entre 16 fi estil$

Per extensió es defineix la potència amb exponent negatiu com:

$a^{-n}= \frac{1}{a^{n}}$

$\left( \frac{a}{b} \right)^{-n}=\left( \frac{b}{a} \right)^{n}$

Exemples:

$estil mida 14px 3 elevat a menys 2 fi elevat igual obre parèntesis 1 terç tanca parèntesis al quadrat igual fracció 1 al quadrat entre 3 al quadrat igual fracció 1 entre 9 fi estil$
$estil mida 14px obre parèntesis fracció 3 entre 4 tanca parèntesis elevat a menys 2 fi elevat igual obre parèntesis fracció 4 entre 3 tanca parèntesis al quadrat igual fracció 4 al quadrat entre 3 al quadrat igual fracció 16 entre 9 fi estil$

Propietats:

$a^{n} \times a^{m}=a^{n+m}$

$\frac{a^{n}}{a^{m}} =a^{n-m}$

$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n \cdot m}$

$a^{0}=1$

$a^{1}=a$

Exemples:

$estil mida 12px 10 elevat a 12 per 10 elevat a menys 5 fi elevat igual 10 elevat a 12 més parèntesi esquerre menys 5 parèntesi dret fi elevat igual 10 elevat a 12 menys 5 fi elevat igual 10 elevat a 7 fi estil$
$estil mida 14px fracció 3 elevat a 4 entre 3 elevat a 5 igual 3 elevat a 4 menys 5 fi elevat igual 3 elevat a menys 1 fi elevat igual 1 terç fi estil$
$obre parèntesis obre parèntesis menys 3 tanca parèntesis al quadrat tanca parèntesis al cub igual obre parèntesis menys 3 tanca parèntesis elevat a 2 per 3 fi elevat igual obre parèntesis menys 3 tanca parèntesis elevat a 6 igual més 729$

Per fer potències amb la calculadora científica pots utilitzar la tecla ^ o x^y segons el model que tinguis. Mira el manual de la teva calculadora. Per fer-ho amb l'editor del campus has de clicar la icona .

1) Extreu de l'arrel:

a) $arrel quadrada de 8 igual arrel quadrada de 2 al cub fi arrel igual 2 arrel quadrada de 2$

b) $arrel quadrada de 72 igual arrel quadrada de 3 al quadrat per 2 al cub fi arrel igual arrel quadrada de 3 al quadrat per 2 al quadrat per 2 fi arrel igual 3 per 2 arrel quadrada de 2 igual 6 arrel quadrada de 2$

c) $2 arrel quadrada de 27 igual 2 arrel quadrada de 3 al cub fi arrel igual 2 per 3 arrel quadrada de 3 igual 6 arrel quadrada de 3$

d) $arrel quadrada de fracció 9 entre 4 fi arrel igual fracció 3 entre 2$

e) $2 per arrel quadrada de fracció 9 entre 25 fi arrel igual 2 per fracció 3 entre 5 igual fracció 6 entre 5$

2) Calculeu sense utilitzar la calculadora, i simplifica el resultat:

$parèntesi esquerre 3 menys 2 arrel quadrada de 5 parèntesi dret espai per espai parèntesi esquerre 3 més 8 arrel quadrada de 5 parèntesi dret$

$negreta parèntesi esquerre negreta 3 negreta menys negreta 2 arrel quadrada de negreta 5 negreta parèntesi dret negreta espai negreta per negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 3 negreta més negreta 8 arrel quadrada de negreta 5 negreta parèntesi dret igual 3 per 3 espai més 3 per 8 arrel quadrada de 5 menys 2 arrel quadrada de 5 espai per espai 3 espai menys 2 arrel quadrada de 5 espai per espai 8 arrel quadrada de 5 igual igual 9 més 24 arrel quadrada de 5 menys 6 arrel quadrada de 5 menys 16 arrel quadrada de 25 igual 9 més 24 arrel quadrada de 5 menys 6 arrel quadrada de 5 menys 16 per 5 igual igual 9 més 18 arrel quadrada de 5 menys 80 igual negreta menys negreta 71 negreta espai negreta més negreta 18 negreta espai arrel quadrada de negreta 5$

Racionalització

És trobar una fracció equivalent que no tingui arrels en el denominador.

S'ha de buscar el terme apropiat per fer la racionalització.

Cas que el denominador estigui format per un sol terme:

Exemple:

$\frac{21}{\sqrt{3}}=\frac{21}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{21\sqrt{3}}{3}=7 \sqrt{3}$

$\frac{20}{ \sqrt[4]{2}}= \frac{20}{ \sqrt[4]{2}} \cdot {\frac{ \sqrt[4]{2^3}}{ \sqrt[4]{2^3}}}= \frac{20 \sqrt[4]{2^3}}{ \sqrt[4]{2^4}}= \frac{20 \sqrt[4]{2^3}}{2}=10 \sqrt[4]{2^3}=20 \sqrt[4]{2}$

Cas que el denominador estigui format per un binomi s'ha de multiplicar per l'expressió conjugada:

Exemple:

$\frac{20}{1-\sqrt{2}}=\frac{20}{ 1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{20+20\sqrt2}{(1)^2-(\sqrt2)^2}=\frac{20+20\sqrt2}{1-2}=$

$\frac{20+20\sqrt2}{-1}=-20-20\sqrt2$

Racionalitzar:

$fracció numerador 4 entre denominador arrel quadrada de 3 més 2 arrel quadrada de 2 fi fracció igual fracció numerador 4 entre denominador arrel quadrada de 3 més 2 arrel quadrada de 2 fi fracció per fracció numerador arrel quadrada de 3 menys 2 arrel quadrada de 2 entre denominador arrel quadrada de 3 menys 2 arrel quadrada de 2 fi fracció igual fracció numerador 4 per obre parèntesis arrel quadrada de 3 menys 2 arrel quadrada de 2 tanca parèntesis entre denominador parèntesi esquerre arrel quadrada de 3 més 2 arrel quadrada de 2 parèntesi dret per obre parèntesis arrel quadrada de 3 menys 2 arrel quadrada de 2 tanca parèntesis fi fracció igual fracció numerador 4 per arrel quadrada de 3 menys 4 per 2 arrel quadrada de 2 entre denominador arrel quadrada de 3 al quadrat menys arrel quadrada de 3 arrel quadrada de 2 més arrel quadrada de 3 arrel quadrada de 2 menys obre parèntesis 2 arrel quadrada de 2 tanca parèntesis al quadrat fi fracció igual espai igual fracció numerador 4 arrel quadrada de 3 menys 8 arrel quadrada de 2 entre denominador 3 ratllat diagonal cap amunt menys arrel quadrada de 6 fi ratllat més ratllat diagonal cap amunt arrel quadrada de 6 fi ratllat menys 4 per 2 fi fracció igual fracció numerador 4 arrel quadrada de 3 menys 8 arrel quadrada de 2 entre denominador 3 menys 8 fi fracció igual fracció numerador 4 arrel quadrada de 3 menys 8 arrel quadrada de 2 entre denominador menys 5 fi fracció igual fracció numerador 8 arrel quadrada de 2 menys 4 arrel quadrada de 3 entre denominador 5 fi fracció$

Per racionalitzar hem multiplicat numerador i denominador per l'expressió conjugada del denominador

Truncar un nombre significa obtenir-ne una aproximació a base de suprimir les xifres decimals a partir d'una posició determinada.

Arrodonir un nombre vol dir aconseguir-ne la millor aproximació amb un nombre determinat de xifres decimals . Es fa tenint en compte la xifra situada a la dreta de l'última xifra no suprimida:

a) Si és 0,1,2,3,4 es pren l'aproximació per defecte

b) Si és 5,6,7,8,9 es pren l'aproximació per excés

Arrodoneix i trunca a 2 xifres decimals :

Calculeu la diagonal d'un rectangle de costats 10 i 4 cm. Dóna el resultat arrodonit a dues xifres decimals.

Si considerem com resultat exacte el que has obtingut en l'apartat anterior, i com valor aproximat 11 cm, quin error absolut i quin error relatiu s'ha comés en aquesta aproximació?

Usant el Teorema de Pitàgoras, amb les dades a= 10 cm i b=4 cm

$d al quadrat igual a al quadrat més b al quadrat d al quadrat igual 10 al quadrat més 4 al quadrat d al quadrat igual 100 més 16 d al quadrat igual 116 d igual arrel quadrada de 116 igual 10 coma 77 espai c m$

Ara considerem d= 10,77 cm valor exacte i considerem d'=11 cm com valor aproximat de la diagonal

$e r r o r espai a b s o l u t espai igual espai dividit per v a l o r espai e x a c t e menys v a l o r espai a p r o x i m a t dividit per espai igual espai dividit per 10 coma 77 menys 11 dividit per espai igual espai dividit per menys 0 coma 23 dividit per espai igual espai 0 coma 23 espai c m e r r o r espai r e l a t i u espai igual espai fracció numerador e r r o r espai a b s o l u t entre denominador dividit per v a l o r espai e x a c t e dividit per fi fracció igual fracció numerador dividit per v a l o r espai e x a c t e menys v a l o r espai a p r o x i m a t dividit per entre denominador dividit per v a l o r espai e x a c t e dividit per fi fracció igual espai fracció numerador 0 coma 23 entre denominador 10 coma 77 fi fracció igual 0 coma 02135 fletxa doble dreta 2 coma 13 percentatge$

Exemple d'error relatiu

D'aquestes dues situacions digues quina és millor aproximació:

a) De 76543 persones, aproximem per 7600 persones

b) De 28 persones aproximem per 30 persones

Error relatiu en a)

$fracció numerador obre barra vertical v a l o r espai e x a c t e menys v a l o r espai a p r o x i m a t tanca barra vertical entre denominador v a l o r espai e x a c t e fi fracció igual fracció numerador obre barra vertical 76543 menys 76000 tanca barra vertical entre denominador 76543 fi fracció igual 0 coma 007094 espai espai fletxa doble dreta espai e r r o r espai r e l a t i u espai 0 coma 71 percentatge$

Error relatiu en b)

$fracció numerador obre barra vertical v a l o r espai e x a c t e menys v a l o r espai a p r o x i m a t tanca barra vertical entre denominador v a l o r espai e x a c t e fi fracció igual fracció numerador obre barra vertical 28 menys 30 tanca barra vertical entre denominador 28 fi fracció igual 0 coma 07142 espai espai fletxa doble dreta espai e r r o r espai r e l a t i u espai 7 apòstrof 14 percentatge$

Per tant,

la millor aproximació és la a)

Els nombres reals es poden representar en una recta que anomenen recta real. A cada punt de la recta li correspon un únic nombre real i a l'inrevés. Els nombres reals segueixen una ordenació de manera que quan més petit és un nombre, més a l'esquerra de la recta està representat.

INTERVALS Un interval és un conjunt de nombres reals que es representen sobre la recta com un segment o una semirecta ( en el cas d'intervals infinits).

Notació científica

La notació científica serveix per expressar de forma abreujada els nombres molt grans i molt petits.

Per tal que un nombre N estigui correctament escrit en notació científica ha d'estar expressat :

$envoltori caixa negreta C negreta. negreta espai negreta 10 elevat a negreta n fi envoltori$

C ha de ser un nombre amb una sola xifra entera i no nul·la

n és un enter

Si l’exponent (n) és positiu el nombre és molt gran

Si l'exponent (n) és negatiu el nombre és molt petit.

Exemples:

323034000 s'escriuria en notació científica 3,23034·10⁸

0,002345678 s'escriuria en notació científica 2,345678 ·10^-3

Alguns exemples de magnituds en notació científica :

Mesura de :	en notación decimal	en Notació científica
Massa Terra	5.983.000.000.000.000.000.000.000 kg	5,983 · 10²⁴ Kg
Tamany d'un virus	0,00000002 cm	2 · 10^-8 cm
Neurones Sistema Nerviós	10.000.000.000	1 · 10¹⁰
Velocitat Llum	300.000.000m/s	3 · 10⁸m/s.
Radi Terra	6.370.000 m	6,37 · 10⁶ m

Una equació de primer grau amb una incògnita és una igualtat entre dues expressions algebraiques que es compleix per a alguns valors de la incògnita.

Per exemple:

2 x més 1 igual 7 més x

A l'expressió de l'esquerra li diem primer membre de l'equació (en l'exemple és 2x+1), i al de la dreta segon membre de l'equació (en l'exemple és 7+x)

En una equació tenim la incògnita (a vegades també li diem variable) que és el valor desconegut i que acostumem a denotar per x (però es pot utilitzar qualsevol altra lletra). És el valor que em de trobar que compleix la igualtat.

Resoldre una equació consisteix en trobar el valor de la o les incògnites que fan que la igualtat sigui certa. Dues equacions són equivalents si tenen la mateixa solució.

Obtenim equacions equivalents a una donada si:

- Sumem o restem un mateix nombre als dos membres de l'equació.

- Multipliquem o dividim per un mateix nombre (diferent de zero) els dos membres de l'equació.

Per resoldre equacions aplicarem aquestes propietats, però d'una forma ràpida i mecànica que li direm transposició de termes. Transposar un terme vol dir passar-lo d'un membre a l'altre de l'equació. En canviar de membre de l'equació:

- Els termes sumats-------> passen a restar
- Els termes restats-------> passen a sumar
- Els nombres multiplicats-------> passen a dividir
- Els nombres dividits -------> passen a multiplicar

Fixa't en aquests exemples molt simples de transposició que t'ajudaran a entendre-ho:

Exemple 1

$bold italic x negreta més negreta 3 negreta igual negreta 10$

podem observar a "ull" que la solució és 7 doncs 7+3=10, però anem a fer-ho pas a pas.

Per deixar la x "sola" ens destorba el 3, així doncs restarem 3 als dos membres obtenint una equació equivalent a la inicial:

x més 3 menys 3 igual 10 menys 3 espai espai espai fletxa dreta x igual 7

normalment aquest pas ho farem directament i direm que el 3 que està sumant passa restant. Farem:

x negreta més negreta 3 igual 10 espai espai x igual 10 negreta menys negreta 3 espai espai fletxa dreta x igual 7

Exemple 2

negreta 3 bold italic x negreta igual negreta 15

Per aïllar la x dividim els dos membres per 3:

fracció numerador ratllat diagonal cap amunt 3 x entre denominador ratllat diagonal cap amunt 3 fi fracció igual fracció 15 entre 3 espai espai fletxa dreta espai x igual fracció 15 entre 3 igual 5

normalment ho farem directament i direm que el 3 que està multiplicant passa dividint:

negreta 3 x igual 15 espai espai x igual fracció 15 entre negreta 3 espai espai espai fletxa dreta espai envoltori caixa espai x igual 5 fi envoltori

Exemple 3

fracció negreta x entre negreta 4 negreta igual negreta menys negreta 5

Per aïllar la x direm que el 4 que està dividint passa multiplicant.

fracció x entre negreta 4 igual menys 5 x igual menys 5 per negreta 4 negreta espai negreta espai negreta espai fletxa dreta espai espai espai envoltori caixa x igual menys 20 fi envoltori

Exemple 4

negreta menys negreta 4 bold italic x negreta igual negreta 5

Per aïllar la x direm que el -4 que està multiplicant passa dividint.

negreta menys negreta 4 x igual 5 espai espai espai espai envoltori caixa espai x igual fracció numerador 5 entre denominador menys 4 fi fracció fi envoltori

(fixeu-vos que el -4 al passar dividint no canvia de signe)

Equacions de grau 1 senzilles

Farem transposició de termes per tal d'aconseguir tenir totes les x en un membre de la igualtat i tots els nombres a l'altra membre. Un cop aconseguit només caldrà operar per reduir termes i finalment aïllar la x.

Passos:

Utilitzant la transposició agrupem tots els termes que tenen x a un membre (costat) de l'equació i tots el nombres a l'altra.
Reduïm els termes semblants, és a dir sumem o restem les x i els nombres.
Aïllem la x per trobar la solució. La solució ha d'estar simplificada, és a dir reduïda al màxim.

Exemple 1

$negreta 3 bold italic x negreta menys negreta 9 negreta igual negreta 5 bold italic x negreta menys negreta 3 bold italic x negreta més negreta 12$

Transposem $3 x negreta menys 5 x negreta més 3 x igual 12 negreta més 9$ (fixeu-vos en els canvis de signe que s'han fet)

Reduïm $1 x igual 21$

Aïllem x: $envoltori caixa x igual 21 fi envoltori$

Els següents exemples fer-los sense mirar i comproveu que els heu fet be:

Exemple 2

$negreta 6 bold italic x negreta menys negreta 4 bold italic x negreta més negreta 3 negreta igual negreta 10 negreta més negreta 4 bold italic x negreta més negreta 5$

$6 x menys 4 x menys 4 x igual 10 més 5 menys 3 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 2 x igual 12 espai espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai x igual fracció numerador 12 entre denominador menys 2 fi fracció espai espai fletxa dreta espai envoltori caixa espai x igual menys 6 fi envoltori$

Exemple 3

$negreta menys negreta 5 bold italic x negreta més negreta 3 bold italic x negreta menys negreta 3 negreta més negreta 8 negreta igual negreta 12 bold italic x negreta menys negreta 1 menys 5 x més 3 x menys 12 x igual menys 1 més 3 menys 8 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 14 x igual menys 6 espai espai espai fletxa dreta x igual fracció numerador menys 6 entre denominador menys 14 fi fracció espai fletxa dreta espai envoltori caixa espai x igual fracció 3 entre 7 fi envoltori$

Exemple 4

negreta 3 negreta més negreta 2 bold italic x negreta menys negreta 1 negreta igual negreta 3 bold italic x negreta més negreta 5 2 x menys 3 x igual 5 menys 3 més 1 espai espai espai espai espai espai espai espai menys x igual 3 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai envoltori caixa x igual menys 3 fi envoltori

Exemple 5

$negreta 1 negreta menys bold italic x negreta més negreta 3 bold italic x negreta igual negreta 2 bold italic x negreta més negreta 5 menys x més 3 x menys 2 x igual 5 menys 1 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 0 x igual 4 espai espai espai espai fletxa dreta envoltori inferior espai normal L apòstrof equació espai no espai té espai solució fi envoltori$

Aquest és un cas especial: fixeu-vos que no existeix cap nombre que multiplicat per 0 doni 4

Per tant, l'equació no té solució

Exemple 6

$negreta 1 negreta menys bold italic x negreta més negreta 3 bold italic x negreta més negreta 4 negreta igual negreta 2 bold italic x negreta més negreta 5 menys x més 3 x menys 2 x igual 5 menys 1 menys 4 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 0 x igual 0 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai Tots espai els espai nombres espai són espai solució espai espai espai$

Aquest és un altre cas especial: fixeu-vos que qualsevol nombre multiplicat per 0 dona 0

Equacions de grau 1 amb parèntesi

Cal tenir en compte que un nombre davant d'un parèntesi multiplicant a tot el de dintre. Per eliminar el parèntesi aplicarem la que es coneix com a propietat distributiva.

$estil mida 18px bold italic a negreta parèntesi esquerre bold italic b negreta més bold italic c negreta parèntesi dret negreta igual bold italic a negreta per bold italic b negreta més bold italic a negreta per bold italic c fi estil$

$estil mida 18px bold italic a negreta parèntesi esquerre bold italic b negreta menys bold italic c negreta parèntesi dret negreta igual bold italic a negreta per bold italic b negreta menys bold italic a negreta per bold italic c fi estil$

I si hi ha un menys davant del parèntesi:

$estil mida 18px negreta menys negreta parèntesi esquerre bold italic b negreta més bold italic c negreta parèntesi dret negreta igual negreta menys bold italic b negreta menys bold italic c fi estil$

$estil mida 18px negreta menys negreta parèntesi esquerre bold italic b negreta menys bold italic c negreta parèntesi dret negreta igual negreta menys bold italic b negreta menys negreta parèntesi esquerre negreta menys bold italic c negreta parèntesi dret negreta igual negreta menys bold italic b negreta més bold italic c fi estil$

Exemples:

3 parèntesi esquerre x menys 2 parèntesi dret igual 3 x més 3 parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret igual 3 x menys 6

menys 2 parèntesi esquerre 3 x més 5 parèntesi dret igual menys 2 per 3 x més parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret per 5 igual menys 6 x menys 10

$5 menys 2 parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret igual 5 menys 2 per x menys 2 per parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret igual 5 menys 2 x més 6$

Exemple 1

$negreta 3 negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta menys negreta 5 negreta parèntesi dret negreta més negreta 1 negreta igual negreta menys negreta parèntesi esquerre negreta 4 negreta menys bold italic x negreta parèntesi dret negreta espai 3 x menys 15 més 1 igual menys 4 més x espai 3 x menys x igual menys 4 més 15 menys 1 espai espai espai espai espai espai espai 2 x igual 10 espai espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai x igual fracció 10 entre 2 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai espai espai envoltori caixa x igual 5 fi envoltori espai$

Exemple 2

$negreta 5 negreta menys negreta 3 negreta parèntesi esquerre bold italic x negreta menys negreta 2 negreta parèntesi dret negreta igual negreta 1 negreta menys negreta parèntesi esquerre negreta 2 bold italic x negreta més negreta 3 negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai espai 5 menys 3 x més 6 igual 1 menys 2 x menys 3 espai espai espai menys 3 x més 2 x igual 1 menys 3 menys 5 menys 6 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys x igual menys 13 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai envoltori caixa espai x igual 13 fi envoltori espai$

Exemple 3

$negreta menys negreta 2 negreta parèntesi esquerre negreta 3 bold italic x negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret negreta menys negreta 2 bold italic x negreta igual negreta 5 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai menys 6 x més 2 menys 2 x igual 5 espai espai espai espai menys 6 x menys 2 x igual 5 menys 2 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 8 x igual 3 espai espai fletxa dreta espai espai x igual fracció numerador 3 entre denominador menys 8 fi fracció espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai envoltori caixa espai x igual menys fracció 3 entre 8 fi envoltori espai$

Observació: quan una fracció és negativa, el signe menys és preferible posar-lo al numerador o davant la fracció.

Passos a seguir:

Calcularem el m.c.m de tots els denominadors.

Multiplicar tots els temes de l'equació pel m.c.m. i simplificar-ho (traurem els denominadors).

Treure els parèntesis (si n'hi ha ).

Agrupar termes amb x a un membre i nombres a l'altre.

Reduir termes semblants.

Aïllar la x.

Exemple 1

$fracció numerador negreta 2 negreta x negreta menys negreta 1 entre denominador negreta 2 fi fracció negreta igual fracció negreta 5 entre negreta 3$

mcm(2,3)=6 Multipliquem per 6 tots els termes:

$6 per obre parèntesis fracció numerador 2 x menys 1 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis igual 6 per fracció 5 entre 3$

Ara fem primer les divisions abans de fer els productes i d'aquesta manera eliminem els denominadors.

$negreta 6 per obre parèntesis fracció numerador 2 x menys 1 entre denominador negreta 2 fi fracció tanca parèntesis igual negreta 6 per fracció 5 entre negreta 3$

$negreta 3 per parèntesi esquerre 2 x menys 1 parèntesi dret igual negreta 2 per 5$

Eliminem el parèntesi fent els productes:

$6 x menys 3 igual 10$

$6 x igual 10 més 3 espai espai espai fletxa dreta 6 x igual 13 espai espai fletxa dreta negreta espai bold italic x negreta igual fracció negreta 13 entre negreta 6$

Exemple 2

$fracció negreta x entre negreta 4 negreta menys negreta 2 negreta igual fracció negreta 9 entre negreta 2 negreta menys negreta 3 bold italic x$

m.c.m (4,2)=4 Multipliquem tots els termes per 4

$4 per fracció x entre 4 menys 4 per 2 igual 4 per fracció 9 entre 2 menys 4 per 3 x$

Fem les divisions i els productes per eliminar els denominadors:

$x menys 8 igual 18 menys 12 x$

$x més 12 x igual 18 més 8 espai espai espai espai espai espai espai 13 x igual 26 espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai x igual fracció 26 entre 13 igual negreta 2$

Exemple 3

$negreta 2 bold italic x negreta menys fracció numerador negreta 5 negreta x negreta menys negreta 3 entre denominador negreta 2 fi fracció negreta igual negreta 7$

Multipliquem tots els termes per 2

$2 per 2 x menys ratllat diagonal cap amunt 2 per fracció numerador 5 x menys 3 entre denominador ratllat diagonal cap amunt 2 fi fracció igual 2 per 7$

$4 x menys parèntesi esquerre 5 x menys 3 parèntesi dret igual 2 per 7 4 x menys 5 x negreta més 3 igual 14 espai espai espai espai espai espai espai espai menys x igual 14 menys 3 espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai menys x igual 11 espai espai espai fletxa dreta espai envoltori caixa negreta espai bold italic x negreta igual negreta menys negreta 11 fi envoltori espai espai$

Exemple 4

$bold italic x negreta menys fracció numerador negreta 5 negreta x negreta més negreta 3 entre denominador negreta 2 fi fracció negreta igual fracció negreta 1 entre negreta 3$

Multipliquem tots els termes per 6

$6 per x menys 6 per fracció numerador 5 x més 3 entre denominador 2 fi fracció igual 6 per 1 terç 6 x menys 3 per parèntesi esquerre 5 x més 3 parèntesi dret igual 2 6 x menys 15 x menys 9 igual 2 espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 9 x igual 2 més 9 espai espai espai fletxa dreta espai espai menys 9 x igual 11 espai espai fletxa dreta espai envoltori caixa espai x igual negreta menys fracció negreta 11 entre negreta 9 fi envoltori espai espai$

Observació:

- El signe menys davant d'una fracció afecta a tot el numerador. Exemple:

$menys fracció numerador x menys 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys x més 1 entre denominador 2 fi fracció$

Una equació de segon grau es pot escriure en la forma general

$bold italic a bold italic x elevat a negreta 2 negreta més bold italic b bold italic x negreta més bold italic c negreta igual negreta 0 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai espai parèntesi esquerre a no igual 0 parèntesi dret$
La resolem amb la fórmula:

El valor de dins l'arrel es diu discriminant i es denota Δ , així doncs

negreta increment negreta igual negreta b elevat a negreta 2 negreta menys negreta 4 negreta per negreta a negreta per negreta c

Segons el valor del discriminant podrem afirmar si l'equació té o no solució.

- - Si el discriminant és Δ>0 l'equació té dues solucions diferents
  - Si el discriminant és Δ=0 l'equació té una solució repetida
  - Si el discriminant és Δ<0 l'equació no té solució

- Si l'equació té els tres coeficients no nuls l'equació es diu completa i aplicarem la fórmula per resoldre.

Exemple 1

$negreta 2 bold italic x elevat a negreta 2 negreta més negreta 5 bold italic x negreta menys negreta 1 negreta igual negreta 0 negreta espai negreta espai negreta espai espai tenim negreta espai espai negreta espai bold italic a negreta igual negreta 2 negreta coma negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai bold italic b negreta igual negreta 5 negreta coma negreta espai negreta espai negreta espai bold italic c negreta igual negreta menys negreta 1 negreta espai$

$bold italic x negreta igual fracció numerador negreta menys negreta b negreta més-menys arrel quadrada de negreta b elevat a negreta 2 negreta menys negreta 4 negreta per negreta a negreta per negreta c fi arrel entre denominador negreta 2 negreta per negreta a fi fracció negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 5 negreta més-menys arrel quadrada de negreta 5 elevat a negreta 2 negreta menys negreta 4 negreta per negreta 2 negreta per negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret fi arrel entre denominador negreta 2 negreta per negreta 2 fi fracció negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 5 negreta més-menys arrel quadrada de negreta 25 negreta més negreta 8 fi arrel entre denominador negreta 4 fi fracció negreta igual negreta espai negreta espai negreta espai fracció numerador negreta menys negreta 5 negreta més-menys arrel quadrada de negreta 33 entre denominador negreta 4 fi fracció negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 5 negreta més-menys negreta 5 negreta coma negreta 74 entre denominador negreta 4 fi fracció negreta igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la negreta x subíndex negreta 1 negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 5 negreta menys negreta 5 negreta coma negreta 74 entre denominador negreta 4 fi fracció negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 10 negreta coma negreta 74 entre denominador negreta 4 fi fracció negreta igual negreta menys negreta 2 negreta coma negreta 685 fi cel·la fila cel·la negreta x subíndex negreta 2 negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 5 negreta més negreta 5 negreta coma negreta 74 entre denominador negreta 4 fi fracció negreta igual fracció numerador negreta 0 negreta coma negreta 74 entre denominador negreta 4 fi fracció negreta igual negreta 0 negreta coma negreta 185 fi cel·la fi taula tanca$

Exemple 2

$2 x al quadrat més 3 x menys 2 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x igual fracció numerador menys 3 més-menys arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret al quadrat menys 4 per 2 per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret fi arrel entre denominador 2 per 2 fi fracció igual fracció numerador menys 3 més-menys arrel quadrada de 9 més 16 fi arrel entre denominador 4 fi fracció igual fracció numerador menys 3 més-menys arrel quadrada de 25 entre denominador 4 fi fracció igual fracció numerador menys 3 més-menys 5 entre denominador 4 fi fracció igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la fracció numerador menys 3 més 5 entre denominador 4 fi fracció igual fracció 2 entre 4 igual 1 mig fi cel·la fila cel·la fracció numerador menys 3 menys 5 entre denominador 4 fi fracció igual fracció numerador menys 8 entre denominador 4 fi fracció igual menys 2 fi cel·la fi taula tanca$

Exemple 3

$2 x al quadrat menys 3 x menys 2 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x igual fracció numerador menys parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret més-menys arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret al quadrat menys 4 per 2 per parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret fi arrel entre denominador 2 per 2 fi fracció igual fracció numerador 3 més-menys arrel quadrada de 9 més 16 fi arrel entre denominador 4 fi fracció igual fracció numerador 3 més-menys arrel quadrada de 25 entre denominador 4 fi fracció igual fracció numerador 3 més-menys 5 entre denominador 4 fi fracció igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la fracció numerador 3 més 5 entre denominador 4 fi fracció igual fracció 8 entre 4 igual 2 fi cel·la fila cel·la fracció numerador 3 menys 5 entre denominador 4 fi fracció igual fracció numerador menys 2 entre denominador 4 fi fracció igual menys 1 mig fi cel·la fi taula tanca$

Exemple 4

$x al quadrat menys 5 x més 6 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x igual fracció numerador menys parèntesi esquerre menys 5 parèntesi dret més-menys arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 5 parèntesi dret al quadrat menys 4 per 1 per 6 fi arrel entre denominador 2 per 1 fi fracció igual fracció numerador 5 més-menys arrel quadrada de 25 menys 24 fi arrel entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 5 més-menys arrel quadrada de 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 5 més-menys 1 entre denominador 2 fi fracció igual obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la fracció numerador 5 més 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció 6 entre 2 igual 3 fi cel·la fila cel·la fracció numerador 5 menys 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció 4 entre 2 igual 2 fi cel·la fi taula tanca$

Exemple 5

$x al quadrat menys 5 x més 7 igual 0 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x igual fracció numerador menys parèntesi esquerre menys 5 parèntesi dret més-menys arrel quadrada de parèntesi esquerre menys 5 parèntesi dret al quadrat menys 4 per 1 per 7 fi arrel entre denominador 2 per 1 fi fracció igual fracció numerador 5 més-menys arrel quadrada de 25 menys 28 fi arrel entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 5 més-menys arrel quadrada de menys 3 fi arrel entre denominador 2 fi fracció espai espai espai espai N o espai t é espai s o l u c i ó$

Aquesta equació no té solució en els nombres reals perquè no existeix l'arrel quadrada d'un negatiu.

Una equació de 2n grau $a x al quadrat més b x més c igual 0$ és incompleta quan els coeficient b o c són zero

- Cas $envoltori caixa negreta b negreta igual negreta 0 fi envoltori$

$bold italic a bold italic x elevat a negreta 2 negreta més bold italic c negreta igual negreta 0$

$bold italic a bold italic x elevat a negreta 2 negreta igual negreta menys bold italic c negreta fletxa dreta bold italic x elevat a negreta 2 negreta igual fracció numerador negreta menys negreta c entre denominador negreta a fi fracció negreta fletxa dreta bold italic x negreta igual negreta més-menys arrel quadrada de fracció numerador negreta menys negreta c entre denominador negreta a fi fracció fi arrel$

Exemples

$negreta 2 bold italic x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 5 negreta igual negreta 0 negreta fletxa dreta negreta 2 bold italic x elevat a negreta 2 negreta igual negreta 5 negreta fletxa dreta bold italic x elevat a negreta 2 negreta igual fracció negreta 5 entre negreta 2 negreta fletxa dreta bold italic x negreta igual negreta més-menys arrel quadrada de fracció negreta 5 entre negreta 2 fi arrel$

$x al quadrat menys 9 igual 0 espai espai fletxa dreta espai espai espai x al quadrat igual 9 espai espai espai fletxa dreta x igual més-menys arrel quadrada de 9 espai espai espai fletxa dreta espai envoltori caixa espai x igual més-menys 3 fi envoltori espai espai$

$4 x al quadrat menys 25 igual 0 espai espai fletxa dreta espai espai espai 4 x al quadrat igual 25 espai espai fletxa dreta espai espai x al quadrat igual fracció 25 entre 4 espai fletxa dreta espai espai x igual més-menys arrel quadrada de fracció 25 entre 4 fi arrel espai fletxa dreta espai envoltori caixa x igual més-menys fracció 5 entre 2 fi envoltori$

$4 x al quadrat més 25 igual 0 espai espai espai fletxa dreta espai espai espai espai espai 4 x al quadrat igual menys 25 espai espai fletxa dreta espai espai x al quadrat igual menys fracció 25 entre 4 espai espai espai fletxa dreta espai espai x igual més-menys arrel quadrada de menys fracció 25 entre 4 fi arrel espai espai envoltori inferior espai N o espai t é espai s o l u c i ó fi envoltori$

- Cas $envoltori caixa negreta c negreta igual negreta 0 fi envoltori$

$bold italic a bold italic x elevat a negreta 2 negreta més bold italic b bold italic x negreta igual negreta 0$

$bold italic x negreta parèntesi esquerre bold italic a bold italic x negreta més bold italic b negreta parèntesi dret negreta igual negreta 0 negreta fletxa doble dreta obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la negreta x subíndex negreta 1 negreta igual negreta 0 fi cel·la fila cel·la negreta a negreta x negreta més negreta b negreta igual negreta 0 negreta espai negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta espai negreta espai negreta x subíndex negreta 2 negreta igual fracció numerador negreta menys negreta b entre denominador negreta a fi fracció fi cel·la fi taula tanca$

Exemples

$negreta 2 bold italic x elevat a negreta 2 negreta més bold italic x negreta igual negreta 0 negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai negreta 2 bold italic x elevat a negreta 2 negreta més negreta 1 bold italic x negreta igual negreta 0 negreta fletxa dreta negreta espai bold italic x negreta parèntesi esquerre negreta 2 bold italic x negreta més negreta 1 negreta parèntesi dret negreta espai negreta fletxa dreta obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la negreta x negreta igual negreta 0 negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai envoltori caixa negreta x subíndex negreta 1 negreta igual negreta 0 fi envoltori fi cel·la fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta 1 negreta igual negreta 0 negreta espai negreta fletxa dreta negreta espai envoltori caixa negreta x subíndex negreta 2 negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 1 entre denominador negreta 2 fi fracció fi envoltori fi cel·la fi taula tanca$

$3 x al quadrat més 5 x igual 0 espai espai espai fletxa dreta espai espai x parèntesi esquerre 3 x més 5 parèntesi dret igual 0 espai espai espai fletxa dreta espai obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la envoltori caixa negreta x negreta igual negreta 0 fi envoltori fi cel·la fila cel·la 3 x més 5 igual 0 espai espai fletxa dreta 3 x igual menys 5 espai espai fletxa dreta envoltori caixa negreta espai negreta x negreta igual negreta menys fracció negreta 5 entre negreta 3 fi envoltori fi cel·la fi taula tanca$

$x al quadrat menys 5 x igual 0 espai espai espai fletxa dreta espai espai x parèntesi esquerre x menys 5 parèntesi dret igual 0 espai espai espai fletxa dreta espai obre claus taula atributs alineació columna left fin atributs fila cel·la envoltori caixa negreta x negreta igual negreta 0 fi envoltori fi cel·la fila cel·la x menys 5 igual 0 espai espai fletxa dreta envoltori caixa negreta x negreta igual negreta 5 fi envoltori fi cel·la fi taula tanca$

Un sistema de 2 equacions i 2 incògnites és de la forma:

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la a x més b y igual c fi cel·la fila cel·la a apòstrof x més b apòstrof y igual c apòstrof fi cel·la fi taula tanca claus$

Solució d'un sistema

Trobar les solucions del sistema és trobar els valors de les variables x, y que compleixen les 2 equacions del sistema.

Per exemple:

Donat el sistema $obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la x més y igual 7 fi cel·la fila cel·la x menys y igual 1 fi cel·la fi taula tanca claus$

És x=4, y=3 solució? Sí perquè podem comprovar que es compleix: 4+3=7 i 4-3=1

És x=5, y=2 solució? No perquè 5+2=7 però 5-2≠ 1

Tenim 3 mètodes per resoldre aquests sistemes, que s'expliquen en els subapartats:

- Mètode Substitució

- Mètode Reducció

- Mètode Igualació

Observacions:

- Si no s'especifica el mètode, ho podeu fer pel mètode que vulgueu però convé que coneixeu els 3 mètodes.

- Abans de començar un d'aquest mètodes convé simplificar el màxim possible les equacions que ho. És a dir, si per exemple, el sistema és:

$estil mida 14px obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la x menys fracció numerador y menys 1 entre denominador 3 fi fracció igual 2 fi cel·la fila cel·la 2 parèntesi esquerre x menys 1 parèntesi dret més 3 igual 5 fi cel·la fi taula tanca claus fi estil$

traurem denominadors, parèntesis,... abans de començar cap dels mètodes.

- No sempre un sistema té solució. Pot ser que un sistema no tingui solució o que hi hagi infinites solucions.

Per exemple:

Els sistemes $obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la x més y igual 5 fi cel·la fila cel·la x més y igual 1 fi cel·la fi taula tanca claus$ , $obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la 2 x més y igual 5 fi cel·la fila cel·la 4 x més 2 y igual 7 fi cel·la fi taula tanca claus$ no tenen solució

Els sistemes $obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la x més y igual 5 fi cel·la fila cel·la 2 x més 2 y igual 10 fi cel·la fi taula tanca claus$ , $obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la x menys y igual 5 fi cel·la fila cel·la menys x més y igual menys 5 fi cel·la fi taula tanca claus$ tenen infinites solucions

Substitució

a. Aïllar una incògnita d'una de les equacions

b. Substituir aquesta incògnita en l'altre equació. Obtindrem una equació amb una incògnita

c. Resoldre aquesta equació. Obtindrem el valor d'una incògnita.

d. Substituir aquest valor per obtenir el valor de l'altre incògnita

Exemple 1

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta y negreta igual negreta 3 fi cel·la fila cel·la negreta 3 negreta x negreta més negreta 2 negreta y negreta igual negreta 1 fi cel·la fi taula tanca claus taula fila cel·la fletxa dreta espai espai y igual 3 menys 2 x espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la espai espai espai 3 x més 2 per parèntesi esquerre 3 menys 2 x parèntesi dret igual 1 fi cel·la fi taula espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 x més 6 menys 4 x igual 1 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys x igual menys 5 espai espai fletxa dreta espai negreta espai bold italic x negreta igual negreta 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai negreta espai bold italic y igual 3 menys 2 x igual 3 menys 2 per 5 igual 3 menys 10 negreta igual negreta menys negreta 7 negreta espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

Exemple 2

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta x negreta menys fracció numerador negreta y negreta més negreta 6 entre denominador negreta 2 fi fracció negreta igual negreta menys negreta 5 fi cel·la fila cel·la negreta x negreta més negreta 3 negreta y negreta igual negreta 5 fi cel·la fi taula tanca claus taula fila cel·la fletxa dreta espai 2 x menys parèntesi esquerre y més 6 parèntesi dret igual menys 10 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 2 x menys y menys 6 igual menys 10 espai espai fletxa dreta menys y igual menys 2 x menys 10 més 6 espai espai fletxa dreta menys y igual menys 2 x menys 4 espai espai fletxa dreta y igual 2 x més 4 fi cel·la fi taula espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai punts suspensius inclinats cap avall punts suspensius..... fletxa dreta espai espai espai espai espai espai x més 3 per parèntesi esquerre 2 x més 4 parèntesi dret igual 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai x més 6 x més 12 igual 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 7 x igual 5 menys 12 espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai 7 x igual menys 7 espai espai fletxa dreta x igual fracció numerador menys 7 entre denominador 7 fi fracció espai espai fletxa dreta bold italic x negreta igual negreta menys negreta 1 espai espai espai espai$

Ara aquest valor de x ho substituïm en y=2x+4:

$y igual 2 per parèntesi esquerre menys 1 parèntesi dret més 4 igual menys 2 més 4 espai espai espai espai fletxa dreta espai negreta espai bold italic y negreta igual negreta 2 espai espai espai espai$

Exemple 3

Primer de tot eliminen els denominadors de la primera equació.

Multipliquem tota la 1a equació pel m.c.m(2,3)=6

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la fracció negreta x entre negreta 2 negreta menys fracció numerador negreta y negreta menys negreta 5 entre denominador negreta 3 fi fracció negreta igual negreta menys negreta 1 fi cel·la fila cel·la negreta x negreta més negreta 3 negreta y negreta igual negreta 2 fi cel·la fi taula tanca claus taula fila cel·la fletxa dreta espai espai 3 x menys 2 parèntesi esquerre y menys 5 parèntesi dret igual menys 6 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la espai espai espai espai espai 3 x menys 2 y més 10 igual menys 6 espai espai fletxa dreta 3 x igual 2 y menys 10 menys 6 espai espai fletxa dreta 3 x igual 2 y menys 16 espai espai fletxa dreta x igual fracció numerador 2 y menys 16 entre denominador 3 fi fracció fi cel·la fi taula espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai punts suspensius inclinats cap avall punts suspensius..... fletxa dreta espai espai espai espai espai fracció numerador 2 y menys 16 entre denominador 3 fi fracció més 3 y igual 2 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 2 y menys 16 més 3 per 3 y igual 2 per 3 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 2 y menys 16 més 9 y igual 6 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 11 y igual 6 més 16 espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai 11 y igual 22 espai espai fletxa dreta y igual fracció 22 entre 11 espai espai fletxa dreta espai bold italic y negreta igual negreta 2 espai espai espai espai$

Substituïm $y igual 2$ en $estil mida 14px x igual fracció numerador 2 y menys 16 entre denominador 3 fi fracció fi estil$

$x igual fracció numerador 2 per 2 menys 16 entre denominador 3 fi fracció x igual fracció numerador 4 menys 16 entre denominador 3 fi fracció igual fracció numerador menys 12 entre denominador 3 fi fracció espai espai espai fletxa dreta espai espai bold italic x negreta igual negreta menys negreta 4$

Reducció

a. Combinar les dues equacions per obtenir una equació amb una incògnita.

b. Resoldre aquesta equació. Obtindrem el valor d'una incògnita.

c. Substituir aquest valor en una de les equacions per obtenir el valor de l'altre incògnita

Exemple

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta y negreta igual negreta 3 fi cel·la fila cel·la negreta 3 negreta x negreta més negreta 2 negreta y negreta igual negreta 1 fi cel·la fi taula tanca claus taula fila cel·la fletxa dreta espai espai menys 4 x ratllat diagonal cap amunt menys 2 y fi ratllat igual menys 6 espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la espai espai 3 x ratllat diagonal cap amunt més 2 y fi ratllat igual 1 espai espai fi cel·la fi taula espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai pila menys x espai espai espai espai espai espai espai espai espai igual espai menys 5 espai amb barra a sobre espai espai espai fletxa dreta espai espai x igual 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 2 normal x més normal y igual 3 espai negreta espai negreta fletxa dreta espai espai negreta espai bold italic y igual 3 menys 2 x igual 3 menys 2 per 5 igual 3 menys 10 negreta igual negreta menys negreta 7 negreta espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

Igualació

a. Aïllar una mateixa incògnita de les dues equacions

b. Igualar les dues expressions. Obtindrem una equació amb una incògnita

c. Resoldre aquesta equació. Obtindrem el valor d'una incògnita.

d. Substituir aquest valor per obtenir el valor de l'altre incògnita

Exemple

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta y negreta igual negreta 3 fi cel·la fila cel·la negreta 3 negreta x negreta més negreta 2 negreta y negreta igual negreta 1 fi cel·la fi taula tanca claus taula fila cel·la espai espai fletxa dreta espai espai y igual 3 menys 2 x espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la fletxa dreta espai espai y igual fracció numerador 1 menys 3 x entre denominador 2 fi fracció espai espai fi cel·la fi taula espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 menys 2 x igual fracció numerador 1 menys 3 x entre denominador 2 fi fracció espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 6 menys 4 x igual 1 menys 3 x espai espai espai fletxa dreta espai menys x igual menys 5 espai espai fletxa dreta espai negreta espai bold italic x negreta igual negreta 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai negreta espai bold italic y igual 3 menys 2 x igual 3 menys 2 per 5 igual 3 menys 10 negreta igual negreta menys negreta 7 negreta espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

$negreta parèntesi esquerre bold italic a negreta més bold italic b negreta parèntesi dret elevat a negreta 2 negreta igual bold italic a elevat a negreta 2 negreta més negreta 2 bold italic a bold italic b negreta més bold italic b elevat a negreta 2 negreta parèntesi esquerre bold italic a negreta menys bold italic b negreta parèntesi dret elevat a negreta 2 negreta igual bold italic a elevat a negreta 2 negreta menys negreta 2 bold italic a bold italic b negreta més bold italic b elevat a negreta 2 negreta parèntesi esquerre bold italic a negreta més bold italic b negreta parèntesi dret negreta per negreta parèntesi esquerre bold italic a negreta menys bold italic b negreta parèntesi dret negreta igual bold italic a elevat a negreta 2 negreta menys bold italic b elevat a negreta 2$

Exemples:

$parèntesi esquerre x més 3 parèntesi dret al quadrat igual x al quadrat més 2 per x per 3 més 3 al quadrat igual x al quadrat més 6 x més 9 parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret al quadrat igual x al quadrat menys 2 per x per 3 més 3 al quadrat igual x al quadrat menys 6 x més 9 parèntesi esquerre x més 3 parèntesi dret per parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret igual x al quadrat menys 3 al quadrat igual x al quadrat menys 9$

Observacions:

Si volem calcular, per exemple $parèntesi esquerre 5 menys 3 parèntesi dret al quadrat$ podríem fer:

· Aplicar la fórmula: $parèntesi esquerre 5 menys 3 parèntesi dret al quadrat igual 5 al quadrat menys 2 per 5 per 3 més 3 al quadrat igual 25 menys 30 més 9 igual 34 menys 30 igual 4$

· Directament: $parèntesi esquerre 5 menys 3 parèntesi dret al quadrat igual 2 al quadrat igual 4$

És obvi, que quan són nombres amb els que podem operar, és més senzill fer-ho directament.

Nombres reals i equacions

Descripció

Taula de continguts

Operar amb enters

Racionalització