Conceptes bàsics Anàlisis II

Exemple 2

De tots els triangles rectangles d'hipotenusa 10 cm , trobeu la longitud dels catets del triangle que té perímetre màxim. Comproveu que la solució trobada correspon realment al de perímetre màxim.

Identificar les variables del problema.

x= catet (base del triangle) y= catet (altura del triangle)

Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar

Perímetre màxim. Per tant la funció a maximitzar és el perímetre.

P = Perímetre = Suma de tots els costats = x+ y +10

Escriure algebraicament la relació entre les variables

La relació entre les variables és el Teorema de Pitàgores: x²+ y² = 10²

Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.

$y égal à début de racine carrée de 10 au carré moins x au carré fin de racine$

$P égal à x espace plus espace début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine espace plus 10$

Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0

Cal derivar la funció P(x) d'una variable

$P espace apostrophe espace parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace 1 espace plus espace numérateur de la fraction moins 2 x au-dessus du dénominateur 2 fois début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fin de la fraction espace plus espace 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace espace espace P espace apostrophe espace parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace 1 espace moins espace numérateur de la fraction trait barré ascendant sur 2 x au-dessus du dénominateur trait barré ascendant sur 2 fois début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fin de la fraction espace P espace apostrophe espace parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace 1 espace moins espace numérateur de la fraction x au-dessus du dénominateur début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fin de la fraction espace égal à 0 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace espace espace espace espace 1 égal à espace numérateur de la fraction x au-dessus du dénominateur début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fin de la fraction début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine espace égal à espace x espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace E l e v a n t espace a l espace q u a d r a t espace deux points espace espace espace ouvrir la parenthèse début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fermer la parenthèse au carré espace égal à ouvrir la parenthèse x fermer la parenthèse au carré 100 moins x au carré espace égal à espace x au carré espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace 2 fois x au carré espace égal à espace 100 espace espace$

$x égal à espace plus ou moins racine carrée de 50 égal à plus ou moins 5 racine carrée de 2 asymptotiquement égal à plus ou moins 7.07 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace y égal à plus ou moins début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine égal à plus ou moins racine carrée de 50 asymptotiquement égal à plus ou moins 7.07$

Comprovar si són màxims o mínims

Els valors negatius no els tindrem en compte donat que no poden correspondre a la mida dels catets d'un triangle rectangle.

$f espace apostrophe apostrophe espace parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à 0 moins numérateur de la fraction 1 espace fois espace début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine moins espace x espace fois espace début de style affichage numérateur de la fraction moins 2 x au-dessus du dénominateur 2 début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fin de la fraction fin de style au-dessus du dénominateur ouvrir la parenthèse début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fermer la parenthèse au carré fin de la fraction f espace apostrophe apostrophe espace parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à moins numérateur de la fraction espace début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine plus espace début de style affichage numérateur de la fraction trait barré ascendant sur 2 x au carré au-dessus du dénominateur trait barré ascendant sur 2 début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fin de la fraction fin de style au-dessus du dénominateur ouvrir la parenthèse début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fermer la parenthèse au carré fin de la fraction espace égal à numérateur de la fraction espace début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine plus espace début de style affichage numérateur de la fraction x au carré au-dessus du dénominateur début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine fin de la fraction fin de style au-dessus du dénominateur 100 moins x au carré fin de la fraction H e m espace d apostrophe e s t u d i a r espace e l espace s i g n e espace d e espace f espace apostrophe apostrophe espace parenthèse gauche 7 virgule 07 parenthèse droite espace égal à moins numérateur de la fraction espace début de racine carrée de 100 moins 50 fin de racine plus espace début de style affichage numérateur de la fraction 50 au-dessus du dénominateur début de racine carrée de 100 moins 50 fin de racine fin de la fraction fin de style au-dessus du dénominateur 100 moins 50 fin de la fraction égal à moins numérateur de la fraction espace racine carrée de 50 plus espace début de style affichage numérateur de la fraction 50 au-dessus du dénominateur racine carrée de 50 fin de la fraction fin de style au-dessus du dénominateur 50 fin de la fraction espace inférieur à 0 P e r espace tan t espace e n espace x égal à 7 virgule 07 espace l a espace f u n c i ó espace t é espace u n espace m à x i m.$

Analitzar la coherència de la solució dins dels context de l'enunciat

El resultats $x égal à espace plus ou moins racine carrée de 50 égal à plus ou moins 5 racine carrée de 2 asymptotiquement égal à plus ou moins 7.07 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace double flèche vers la droite espace espace y égal à plus ou moins début de racine carrée de 100 moins x au carré fin de racine égal à plus ou moins racine carrée de 50 asymptotiquement égal à plus ou moins 7.07$

tenen sentit en el context del problema. Observeu que el triangle de màxim perímetre és el triangle isòsceles, que té el dos catets iguals.