Imprimer ce chapitreImprimer ce chapitre

Conceptes bàsics Anàlisis II

Optimitzar és trobar el màxim o el mínim d'una funció sotmesa a certes condicions imposades.

Per resoldre un problema d'optimització seguirem aquests passos:

  • Identificar les variables del problema.
  • Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar
  • Escriure algebraicament la relació entre les variables
  • Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció. Cal aconseguir que la funció sigui d'una única variable.
  • Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0
  • Comprovar si són màxims o mínims
  • Analitzar la coherència de la solució dins del context de l'enunciat


Exemple 1

Aquest dipòsit en forma d'ortoedre, té un volum de 72 m3 i la llargada (a) és el doble que l'amplada (c). Deduir les dimensions del dipòsit per tal que la superfície sigui mínima



  • Identificar les variables del problema.     

 a= llarg

 b= ample

 c= altura

  • Escriure algebraicament la funció que s'ha d'optimitzar

Àrea(A)= 2 bases + 4 cares laterals = a·c + a·c + b·c + b·c +a·b +a·b = 2·a·c + 2·b·c + 2·a·b

  • Escriure algebraicament la relació entre les variables

V=llarg·ample·altura = a·b·c

72 = a·b·c

A més la llargada (a) és el doble que l'amplada (c)

a = 2·c

De les dues equacions obtenim :

72 = 2c·b·c = 2bc2

null

  • Aïllar de la relació anterior una variable i substituir en la funció.

A = 2·a·c + 2·b·c + 2·a·b = 2·(2c)·c + 2·b·c + 2·(2c)·b =4c2 + 2·b·c + 4bc =4c2 + 6·b·c

A égal à 4 c au carré espace plus espace 6 ouvrir la parenthèse 36 sur c au carré fermer la parenthèse c A égal à 4 c au carré espace plus espace 216 sur c

  • Trobar els extremes (màxims i mínims) de la funció, resolent l'equació f '(x) =0

A apostrophe espace égal à 8 c espace plus espace ouvrir la parenthèse numérateur de la fraction moins 216 au-dessus du dénominateur c au carré fin de la fraction fermer la parenthèse A apostrophe espace égal à 8 c espace moins 216 sur c au carré espace égal à 0 8 c au cube espace égal à espace 216 c au cube espace égal à espace 216 sur 8 c au cube espace égal à espace 216 sur 8 c au cube espace égal à espace 27 c égal à au cube racine de 27 égal à 3

  • Comprovar si són màxims o mínims

Es pot comprovar de dos formes.

En aquest exercici comprovarem en la segona derivada.

Si f ''(punt) >0 ---> el punt és mínim

Si f ''(punt) <0 ---> el punt és màxim

En el nostre cas, calcularem la segona derivada

A apostrophe apostrophe espace égal à 8 espace plus espace 432 sur c au cube A apostrophe apostrophe espace parenthèse gauche 3 parenthèse droite égal à 8 espace plus espace 432 sur 3 puissance 4 espace supérieur à 0


Per tant en c= 3 la funció presenta un mínim

  • Analitza

El resultat té sentit ja que hem obtingut un ortoedre de dimensions c= 3 cm, a=6 cm i b=36/c2= 36/9 =4 cm