Solucions Física en context

Sitio:	Cursos IOC - Batxillerat
Curso:	Física II (Bloc 2) ~ gener 2020
Libro:	Solucions Física en context

Imprimido por:	Visiteur anonyme
Día:	sábado, 25 de mayo de 2024, 05:52

Descripción

Tabla de contenidos

Q1

Contesteu:

(a) Si un electró s'accelera en un canó amb un voltatge de canó de 5.000 V, quanta energia cinètica adquireix? (expresseu el resultat en J i en eV) (Càrrega de l'electró, e=1,60·10^-19 C, massa electró, m=9,11·10^-31 kg )

L'energia potencial elèctrica que adquireix la partícula a través del canó és:

$incremento E subíndice p igual q por incremento V$

$incremento E subíndice p igual menos 1 coma 60 por 10 elevado a menos 19 fin elevado por 5000 espacio igual espacio menos 8 por 10 elevado a menos 16 fin elevado espacio J$

Aquesta energia potencial elèctrica es convertirà en energia cinètica:

$incremento E subíndice c igual menos mayúscula delta E p$

$envoltorio caja incremento E subíndice c igual 8 por 10 elevado a menos 16 fin elevado J fin envoltorio$

i si ho passem a eV tenim:

$incremento E subíndice c igual 8 por 10 elevado a menos 16 fin elevado espacio J por fracción numerador 1 espacio e V entre denominador 1 coma 6 por 10 elevado a menos 19 fin elevado J fin fracción igual envoltorio caja 5000 espacio e V fin envoltorio$

(b) A quina velocitat surt l'electró del canó? (considereu que en sortir del càtode la velocitat era pràcticament zero).

A través de l'equació de l'energia cinètica:

$incremento E subíndice c igual 1 medio por m por v al cuadrado menos 1 medio por m por v subíndice o superíndice 2$

Com ens diu que la velocitat inicial era pràcticament zero:

$incremento E subíndice c igual 1 medio por m por v al cuadrado$

$8 por 10 elevado a menos 16 fin elevado igual 1 medio por 9 coma 11 por 10 elevado a menos 31 fin elevado por v al cuadrado$

$envoltorio caja v igual 4 coma 19 por 10 elevado a 7 espacio estilo en línea fracción m entre s fin estilo fin envoltorio$

(c) Com afectaria a la vostra resposta a l'apartat (b) la presència d'aire al CRT?

La pressió dins del tub ha de ser pràcticament zero ja que, si hi hagués aire, les molècules d'aquest interaccionarien amb el feix d'electrons i difícilment arribarien a la pantalla.

Q2

Quina ha de ser la ddp entre el càtode i l'ànode d'un CRT per a què els electrons adquireixin una velocitat de 10.000 km·s^-1.

La velocitat dels electrons en el SI és:

$v igual 10000 espacio estilo en línea fracción numerador k m entre denominador s fin fracción fin estilo igual 10 elevado a 7 espacio estilo en línea fracción m entre s fin estilo$

I la ddp serà:

$incremento E subíndice p igual menos incremento E subíndice c igual menos paréntesis izquierdo 1 medio por m por v al cuadrado menos 1 medio por m por v subíndice o superíndice 2 paréntesis derecho igual menos 1 medio por m por v al cuadrado$

$q por incremento V igual menos 1 medio por m por v al cuadrado$

$menos 1 coma 6 por 10 elevado a menos 19 fin elevado por incremento V igual menos 1 medio por 9 coma 1 por 10 elevado a menos 31 fin elevado por paréntesis izquierdo 10 elevado a 7 paréntesis derecho al cuadrado$

$envoltorio caja incremento V igual 284 espacio V fin envoltorio$

Q4

Quina és la velocitat que adquiriria un electró en l'interior d'un tub CRT sotmès a una ddp de 500 kV? Analitzeu i comenteu el resultat final.

La velocitat serà:

$q por incremento V igual menos 1 medio por m por v al cuadrado$

$menos 1 coma 6 por 10 elevado a menos 19 fin elevado por 500000 igual menos 1 medio por 9 coma 1 por 10 elevado a menos 31 fin elevado por v al cuadrado$

$envoltorio caja v igual 4 coma 19 por 10 elevado a 8 espacio estilo en línea fracción m entre s fin estilo fin envoltorio$

Aquesta velocitat és superior a la velocitat de la llum i per tant no és possible. Per velocitats properes a la velocitat de la llum les equacions de la Física clàssica no serveixen i s'ha de fer servir la Física relativista.

Q5

Suposeu que un electró és accelerat fins a una energia de 20 GeV. Expresseu la seva massa en unitats GeV/c².

A través de l'equació relativista de l'energia:

$E igual m por c al cuadrado$

$20 igual m por c al cuadrado$

envoltorio caja m igual 20 espacio estilo en línea fracción numerador G e V entre denominador c al cuadrado fin fracción fin estilo fin envoltorio

Q6

Un protó té una massa en repòs m_o = 1,67·10^-27 kg.

Dades: c =3·10⁸ m·s^-1, 1eV =1,6·10^-19 J.

(a) Quina és la seva energia en repòs? Doneu el resultat en J i en GeV.

$E subíndice o igual m subíndice o por c al cuadrado$

$E subíndice o igual 1 coma 67 por 10 elevado a menos 27 fin elevado por paréntesis izquierdo 3 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado$

$envoltorio caja E subíndice o igual 1 coma 50 por 10 elevado a menos 10 fin elevado J fin envoltorio$

(b) Quina és la seva massa en repòs expressada en GeV/c2 ?

L'energia en unitats del SI és:

$1 coma 5 por 10 elevado a menos 10 fin elevado J por fracción numerador 1 espacio e V entre denominador 1 coma 6 por 10 elevado a menos 19 fin elevado espacio J fin fracción por fracción numerador 1 espacio G e V entre denominador 10 elevado a 9 espacio e V fin fracción igual 0 coma 9375 espacio G e V$

I la seva massa:

$E subíndice o igual m subíndice o por c al cuadrado$

$0 coma 938 igual m subíndice o por c al cuadrado$

$envoltorio caja m subíndice o igual 0 coma 938 espacio estilo en línea fracción numerador G e V entre denominador c al cuadrado fin fracción fin estilo fin envoltorio$

Q7

Un electró té una energia en repòs de 0,511 MeV. Si l'electró es mou amb una velocitat de 0,8c, determineu:

Dades: c =3·10⁸ m·s^-1, 1eV =1,602·10^-19 J.

(a) La massa en repòs.

Primer posem l'energia en unitats del SI:

0 coma 511 espacio M e V por fracción numerador 10 elevado a 6 e V entre denominador 1 espacio M e V fin fracción por fracción numerador 1 coma 602 por 10 elevado a menos 19 fin elevado espacio J entre denominador 1 espacio e V fin fracción igual 8 coma 186 por 10 elevado a menos 14 fin elevado J

I la seva massa en repòs:

E subíndice o igual m subíndice o por c al cuadrado

8 coma 186 por 10 elevado a menos 14 fin elevado igual m subíndice o por paréntesis izquierdo 3 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado

envoltorio caja m subíndice o igual 9 coma 1 por 10 elevado a menos 31 fin elevado k g fin envoltorio

(b) La massa relativista.
La massa relativista és:

m igual fracción numerador m subíndice o entre denominador raíz cuadrada de 1 menos estilo mostrar fracción v al cuadrado entre c al cuadrado fin estilo fin raíz fin fracción

m igual fracción numerador 9 coma 1 por 10 elevado a menos 31 fin elevado entre denominador raíz cuadrada de 1 menos estilo mostrar fracción numerador 0 coma 8 al cuadrado por tachado diagonal hacia arriba c al cuadrado fin tachado entre denominador tachado diagonal hacia arriba c al cuadrado fin tachado fin fracción fin estilo fin raíz fin fracción igual fracción numerador 9 coma 1 por 10 elevado a menos 31 fin elevado entre denominador raíz cuadrada de 1 menos 0 coma 64 fin raíz fin fracción

envoltorio caja m igual 1 coma 52 por 10 elevado a menos 30 fin elevado k g fin envoltorio

(c) L'energia relativista total.
L'energia relativista a través de la massa relativista és:

E igual m por c al cuadrado

E igual 1 coma 52 por 10 elevado a menos 30 fin elevado por paréntesis izquierdo 3 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado

E igual 1 coma 37 por 10 elevado a menos 13 fin elevado J

envoltorio caja E igual 0 coma 854 espacio M e V fin envoltorio

(d) L'energia cinètica que adquireix.
L'energia relativista total és la suma de l'energia cinètica més l'energia en repòs:

E igual E subíndice c más E subíndice o

0 coma 854 igual E subíndice c más 0 coma 511

envoltorio caja E subíndice c igual 0 coma 343 espacio M e V fin envoltorio

Q8

Un accelerador de partícules subministra una energia cinètica de 3,0 GeV a un protó.

Dades: massa del protó =1,67·10^-27kg, c=3,0·10⁸m·s^-1

(a) A quina massa equival aquesta energia? Compareu-la amb la massa del protó en repòs.

L'energia relativista total és:

$E igual E subíndice o más E subíndice c$

Primer calculem l'energia en repòs del protó:

$E subíndice o igual m subíndice o por c al cuadrado igual 1 coma 67 por 10 elevado a menos 27 fin elevado por paréntesis izquierdo 3 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado igual 1 coma 503 por 10 elevado a menos 10 fin elevado J$

I ara l'energia cinètica subministrada el unitats del SI:

$3 coma 0 espacio G e V por fracción numerador 10 elevado a 9 e V entre denominador 1 espacio G e V fin fracción por fracción numerador 1 coma 602 por 10 elevado a menos 19 fin elevado espacio J entre denominador 1 espacio e V fin fracción igual 4 coma 806 por 10 elevado a menos 10 fin elevado J$

I apliquem la fórmula de l'energia relativista anterior:

$E igual 1 coma 503 por 10 elevado a menos 10 fin elevado más 4 coma 806 por 10 elevado a menos 10 fin elevado igual 6 coma 309 por 10 elevado a menos 10 fin elevado J$

I la massa relativista és:

E igual m por c al cuadrado

$6 coma 309 por 10 elevado a menos 10 fin elevado igual m por paréntesis izquierdo 3 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado$

envoltorio caja m igual 7 coma 01 por 10 elevado a menos 27 fin elevado k g fin envoltorio

(b) Quina és la massa del protó quan la seva energia cinètica és de 100 GeV?

Si fem el mateix procés per a una energia cinètica de 100 GeV tenim:

$E subíndice o igual 1 coma 503 por 10 elevado a menos 10 fin elevado J$

$E subíndice c igual 1 coma 602 por 10 elevado a menos 8 fin elevado J$

$E igual 1 coma 503 por 10 elevado a menos 10 fin elevado más 1 coma 602 por 10 elevado a menos 8 fin elevado igual 1 coma 617 por 10 elevado a menos 8 fin elevado J$

envoltorio caja m igual 1 coma 8 por 10 elevado a menos 25 fin elevado k g fin envoltorio

Q9

Calculeu la massa d'un electró quan la seva velocitat sigui de:

Dades: massa de l'electró en repòs = 9,10938188 ·10^-31kg

(a) 0,001 c

Per a calcular la massa de l'electró fem:

m igual fracción numerador m subíndice o entre denominador raíz cuadrada de 1 menos estilo mostrar fracción v al cuadrado entre c al cuadrado fin estilo fin raíz fin fracción

m igual fracción numerador 9 coma 10938188 espacio por 10 elevado a menos 31 fin elevado entre denominador raíz cuadrada de 1 menos estilo mostrar fracción numerador paréntesis izquierdo 0 coma 001 por c paréntesis derecho al cuadrado entre denominador c al cuadrado fin fracción fin estilo fin raíz fin fracción igual fracción numerador 9 coma 10938188 espacio por 10 elevado a menos 31 fin elevado entre denominador raíz cuadrada de 1 menos 0 coma 001 al cuadrado fin raíz fin fracción

envoltorio caja m igual 9 coma 11 por 10 elevado a menos 31 fin elevado espacio k g fin envoltorio

(b) 2,4·10⁸ m·s^-1

m igual fracción numerador 9 coma 10938188 espacio por 10 elevado a menos 31 fin elevado entre denominador raíz cuadrada de 1 menos estilo mostrar fracción numerador paréntesis izquierdo 2 coma 4 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado entre denominador c al cuadrado fin fracción fin estilo fin raíz fin fracción igual fracción numerador 9 coma 10938188 espacio por 10 elevado a menos 31 fin elevado entre denominador raíz cuadrada de 1 menos 0 coma 64 fin raíz fin fracción

envoltorio caja m igual 1 coma 52 por 10 elevado a menos 30 fin elevado espacio k g fin envoltorio

(c) 0,99 c

$m igual fracción numerador 9 coma 10938188 espacio por 10 elevado a menos 31 fin elevado entre denominador raíz cuadrada de 1 menos estilo mostrar fracción numerador paréntesis izquierdo 0 coma 99 por c paréntesis derecho al cuadrado entre denominador c al cuadrado fin fracción fin estilo fin raíz fin fracción igual fracción numerador 9 coma 10938188 espacio por 10 elevado a menos 31 fin elevado entre denominador raíz cuadrada de 1 menos 0 coma 99 al cuadrado fin raíz fin fracción$

$envoltorio caja m igual 6 coma 46 por 10 elevado a menos 30 fin elevado espacio k g fin envoltorio$

Q10

La massa en repòs d'un protó és de 1,673 ·10^-27 kg, equivalents a 0,938 GeV. Considereu un protó en moviment amb una massa doble a la seva massa en repòs.

(a) Calculeu la seva energia cinètica.

Es defineix l'energia relativista total d'un cos, com la suma de l'energia cinètica més l'energia en repòs:

$E igual E subíndice C más E subíndice o$

L'energia en repòs és:

$E subíndice o igual 0 coma 938 espacio G e V$

i l'energia en moviment:

$E igual 2 por 1 coma 673 por 10 elevado a menos 27 fin elevado por paréntesis izquierdo 3 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado igual 3 coma 0114 por 10 elevado a menos 10 fin elevado J igual 1 coma 88 espacio G e V$

si substituïm en l'equació inicial:

$1 coma 88 igual E subíndice C más 0 coma 938$

envoltorio caja E subíndice C igual 0 coma 939 espacio G e V fin envoltorio

(b) Calculeu la seva velocitat a partir de l'expressió relativista de la massa.

A partir de l'expressió relativista de la massa:

$m igual fracción numerador m subíndice o entre denominador raíz cuadrada de 1 menos estilo mostrar fracción v al cuadrado entre c al cuadrado fin estilo fin raíz fin fracción$

$2 por tachado diagonal hacia arriba 1 coma 673 por 10 elevado a menos 27 fin elevado fin tachado igual fracción numerador tachado diagonal hacia arriba 1 coma 673 por 10 elevado a menos 27 fin elevado fin tachado entre denominador raíz cuadrada de 1 menos estilo mostrar fracción numerador v al cuadrado entre denominador paréntesis izquierdo 3 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado fin fracción fin estilo fin raíz fin fracción$

$raíz cuadrada de 1 menos fracción numerador v al cuadrado entre denominador paréntesis izquierdo 3 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado fin fracción fin raíz igual 0 coma 5$

$fracción numerador v al cuadrado entre denominador paréntesis izquierdo 3 por 10 elevado a 8 paréntesis derecho al cuadrado fin fracción igual 0 coma 75$

$envoltorio caja v igual 2 coma 60 por 10 elevado a 8 espacio estilo en línea fracción m entre s fin estilo fin envoltorio$

(c) Calculeu la seva velocitat a partir de la fórmula clàssica $E subíndice c igual 1 medio por m por v al cuadrado$
Compareu els dos resultats anteriors.

L'energia cinètica en unitats del SI és:

$E subíndice c igual 0 coma 939 espacio G e V espacio igual espacio 1 coma 504 por 10 elevado a menos 10 fin elevado J$

$E subíndice c igual 1 medio por m por v al cuadrado$

$1 coma 504 por 10 elevado a menos 10 fin elevado igual 1 medio por 1 coma 673 por 10 elevado a menos 27 fin elevado por v al cuadrado$

$envoltorio caja v igual 4 coma 24 por 10 elevado a 8 espacio estilo en línea fracción m entre s fin estilo fin envoltorio$

La velocitat en aquest cas dona més gran que la velocitat de la llum i en el cas del càlcul amb l'expressió relativista dona més petita que la velocitat de la llum. No es pot fer servir la formula clàssica per a calcular la velocitat del protó en aquest exercici.

Q11

Un electró es desplaça per l'interior d'un camp elèctric uniforme de 100 N/C. Sabent que surt del repòs, quant de temps tardarà a assolir una velocitat igual al 10% de la velocitat de la llum?

Dades: c =3·10⁸ m·s^-1, e = 1,6·10^-19 C, m = 9,1·10^-31 kg.

Primer calculem el mòdul de la força en valor absolut que exerceix el camps sobre l'electró:

$F igual q por E igual 1 coma 6 por 10 elevado a menos 19 fin elevado por 100 igual 1 coma 6 por 10 elevado a menos 17 fin elevado espacio N$

El mòdul de l'acceleració que provoca aquesta força és:

$F igual m por a$

$a igual fracción F entre m igual fracción numerador 1 coma 6 por 10 elevado a menos 17 fin elevado entre denominador 9 coma 1 por 10 elevado a menos 31 fin elevado fin fracción igual 1 coma 758 por 10 elevado a 13 espacio m por s elevado a menos 2 fin elevado$

Un 10% de la velocitat de la llum és:

$v igual 3 por 10 elevado a 8 por 10 porcentaje igual 3 por 10 elevado a 7 espacio m por s elevado a menos 1 fin elevado$

i el temps serà:

$v igual v subíndice o más a por t$

3 por 10 elevado a 7 igual 0 más 1 coma 758 por 10 elevado a 13 por t

t igual 1 coma 71 por 10 elevado a menos 6 fin elevado s

envoltorio caja t igual 1 coma 71 espacio mu s fin envoltorio

Quina distància recorrerà l'electró en aquest temps?

Per a calcular la distància fem:

$x igual x subíndice o más v subíndice o por t más 1 medio por a por t al cuadrado$

$x igual 0 más 0 más 1 medio por 1 coma 758 por 10 elevado a 13 por paréntesis izquierdo 1 coma 71 por 10 elevado a menos 6 fin elevado paréntesis derecho al cuadrado$

$envoltorio caja x igual 25 coma 7 espacio m fin envoltorio$

Q12

Un protó, sortint del repòs, accelera per l'acció d'un camp elèctric uniforme E = 8·10⁴ N·C^-1 que s'estén fins a una distància de 5,0 cm. Quina és la velocitat del protó en el moment en que abandona la regió del camp elèctric?

Dades: e = 1,6·10^-19 C, m =1.7·10^-27 kg

Q13

Un electró es projecta en un camp elèctric uniforme $E con flecha derecha encima igual 1.000 espacio i con flecha derecha encima N por C elevado a menos 1 fin elevado$ amb una velocitat inicial de 2·10⁶ m·s^-1 en la direcció del camp. Quina distància recorrerà l'electró abans d'aturar-se momentàniament?

La força que provoca aquest camp és:

$F con flecha derecha encima igual q por E con flecha derecha encima igual menos 1 coma 6 por 10 elevado a menos 19 fin elevado por 1000 espacio i con flecha derecha encima igual menos 1 coma 6 por 10 elevado a menos 16 fin elevado espacio i con flecha derecha encima espacio N por C elevado a menos 1 fin elevado$

Amb el mòdul de la força calculem la seva acceleració de frenada:

$F con flecha derecha encima igual m por a con flecha derecha encima$

$a con flecha derecha encima igual fracción numerador F con flecha derecha encima entre denominador m fin fracción igual fracción numerador menos 1 coma 6 por 10 elevado a menos 16 fin elevado espacio i con flecha derecha encima entre denominador 9 coma 1 por 10 elevado a menos 31 fin elevado fin fracción igual menos 1 coma 76 por 10 elevado a 14 espacio i con flecha derecha encima espacio m por s elevado a menos 2 fin elevado$

Ara, sense tenir en compte el caràcter vectorial de l'acceleració, la distància que recorrerà fins aturar-se és:

$v al cuadrado igual v subíndice o superíndice 2 más 2 por a por incremento x$

$0 igual paréntesis izquierdo 2 por 10 elevado a 6 paréntesis derecho al cuadrado más 2 por paréntesis izquierdo menos 1 coma 76 por 10 elevado a 14 paréntesis derecho por incremento x$

envoltorio caja incremento x igual 0 coma 0114 espacio m fin envoltorio

Q14

La Figura 10 mostra l'estructura d'un LINAC. Les partícules carregades recorren els tubs guia a velocitat constant i són accelerades per un camp elèctric als espais (A, B, C ...) entre els tubs. Suposeu que voleu accelerar un electró.

Figura 10. Estructura interna d'un LINAC (Imatge adaptada de Salters Horners Advanced Physics)

(a) Quan l'electró és al primer tub guia, raoneu quin signe haurà de tenir el segon per tal que l'electró sigui accelerat. Per què ha de canviar la polaritat del segon tub guia una vegada que l'electró hi hagi arribat?

Quan l'electró està al primer tub guis el segon tub tindrà una càrrega positiva per a què l'electró sigui atret i provoqui en ell una acceleració. El tub d'empenta o guia actua com una caixa de Faraday. El camp es commuta mentre la partícula passa el tub d'empenta, de tal manera que quan la partícula arriba al seu final un camp la torna a accelerar.

(b) A la vista de l'apartat (a), raoneu per què es fan servir diferències de potencial alternes (que van canviant la seva polaritat) de molt alta freqüència. Acabeu d'explicar l'esquema.

Com es pot veure a la imatge anterior els electrons són accelerats en trams alternatius, així les diferencies de potencials també són alternes i s'alta freqüència per a quadra-ho amb la velocitat dels electrons.

(c) Si la diferència de potencial entre dos tubs consecutius és igual a $incremento V$ , quina energia cinètica haurà guanyat l'electró quan hagi travessat un nombre N de tubs guia?

L'energia cinètica guanyada entre dos tubs amb una diferència de potencial $incremento V$ és:

$incremento E subíndice c igual menos incremento E subíndice p igual menos q por incremento V$

Si l'electró travessa N tubs llavors:

$incremento E subíndice c igual e por N por incremento V$

on $e igual 1 coma 6 por 10 elevado a menos 19 fin elevado C$

(d) Per què els elèctrodes han de ser cada vegada més llargs?

Com l'electró cada vegada té més energia cinètica això farà que tingui cada vegada més velocitat. Com que tots els tubs canvien la polaritat al mateix temps, l'electró ha de trigar el mateix temps en recórrer tots els tubs. Com que ha de trigar el mateix temps i cada vegada la velocitat és més gran, llavors la longitud del tub ha de ser cada vegada major.