Teorema de  TALES 

Contingut teòric

Per LAPORTA

Definició

Per a poder fer la divisió d'un segment de manera precisa, caldrà fer-ho amb un procediment geomètric i MAI matemàtic.

Mentre que el creuament de traçats geomètrics determina un punt exacte, transportar una fracció amb  decimals d’una mesura obtinguda amb una operació matemàtica és impossible d'aconseguir. En traslladar-ho amb una escala graduada la precisió es perd.

Agafar la calculadora i posar un múltiple de1,666666666666666666666666666666666667 amb un regle graduat, amb precisió, és impossible.

Per a resoldre la divisió d'un segment de manera precisa ho farem emprant en teorema de Tales.

Tales de Milet (Θαλῆς)

Llegenda:

Segons la llegenda (relatada per Plutarc), tales de Milet en un viatge a Egipte, va visitar les piràmides de Guiza (les de Keops, kefrén i Micerni), construïdes varis segles abans.

Admirat per la magnificència del conjunt arquitectònic, va voler esbrinar la seva altura.

D’acord amb la llegenda, va plantejar el problema com una semblança de triangles (i partint de la base que els raigs del sol incidents eren paral·lels), va poder establir una relació de semblança entre dos triangles rectangles:

• per un costat el que té per costats la longitud de l’ombra projectada de la piràmide (dada coneguda) i l’altura de la piràmide (incògnita buscada).
• per una altra banda, emprant una vara de fusta clavada a terra (perfectament vertical) de la que coneixia la seva longitud i l’ombra que aquesta projectava a terra i que també podia mesurar sense problemes.

Realitzant les medicions a una hora del dia en que l’ombra de la vara fos perpendicular a la base de la cara des de la que mesurava l’ombra de la piràmide i agregant a la seva ombra la meitat de la longitud d’una de les cares, obtenia la longitud total de la piràmide fins al centre de la mateixa.

Com en triangles semblants, s’acompleix que:

A/B = D/C

 Per tant l’altura de la piràmide és:

D=AC/B

amb el que va resoldre el problema!

Procediment

Com s'exposa en l'apartat anterior, el mètode consisteix en establir una relació geomètrica entre el segment que es vol dividir i un altre del què coneixem la mesura EXACTA.

Tot seguit es presenta el procediment que cal seguir a mode d'animació.

Per a veure-la, heu de:

1. Obrir l'enllaç, clicant sobre la imatge, per a accedir al lloc web.
2. Fer clic a Solució
3. S'iniciarà la seqüència d'operacions fins a la xifra que està senyalada amb un punt vermell (es tracta d'un moment important i cal posar-hi atenció).
4. Per a prosseguir amb la seqüència cal tornar a clicar el botó d'inici de reproducció.
5. Per a veure el procediment pas per pas, podeu accionar les fletxes de desplaçament lateral.

(Feu clic sobre la imatge per a accedir a l'animació).

Aplicació del procediment

Tot seguit es planteja una exercici d'aplicació del teorema de Tales que us permetrà entendre'n millor la seva utilitat així com el procediment que cal seguir per a la seva correcta definició:

Documents

Teniu una versió en format PDF imprimible dels procediments exposats.

Feu click a l'enllaç següent per a accedir-hi:

Teorema de Tales