Solucions Física en context 9

lloc:	Cursos IOC - Batxillerat
Curs:	Física (autoformació IOC)
Llibre:	Solucions Física en context 9

Imprès per:	Usuari convidat
Data:	dijous, 2 de maig 2024, 05:15

Descripció

Solucions Física en context

Taula de continguts

Q1

Una persona llança un objecte horitzontalment des d'una certa altura. Demostreu que després d'1 s, ha "caigut" aproximadament una altura de 5 m respecte de la direcció inicial.

Per a saber l'altura que ha caigut el cos farem servir l'equació del moviment rectilini uniformement accelerat aplicat a l'eix vertical:

$y igual y subíndex o més v subíndex o subíndex y fi subíndex per t més 1 mig per g per t al quadrat$

Inicialment només hi ha velocitat horitzontal, així que la $v subíndex o subíndex y fi subíndex igual 0$ :

$y menys y subíndex o igual 1 mig per g per t al quadrat$

Si substituïm l'acceleració de la gravetat tenim:

$majúscula delta y igual 1 mig per parèntesi esquerre menys 9 coma 8 parèntesi dret per 1 al quadrat igual menys 4 coma 9 espai estil en línia m fi estil$

I si aproximem aquest resultat:

$estil en línia envoltori caixa majúscula delta y igual asimptòtic 5 espai m fi envoltori fi estil$

Així el cos durant 1 s cau aproximadament 5 metres.

Q2

La Terra presenta una curvatura que fa que la seva superfície baixi 5 m per cada 8 km de tangent a la superfície. Amb aquestes dades, quina ha de ser la velocitat d'un projectil per a què giri al voltant de la Terra?

Si ens fixem en l'exercici Q1 sabem que un cos a la Terra llençat horitzontalment cau una altura de 5 m.

Com sabem que la Terra té una curvatura tal que cada 8 km de tangent de superfície aquesta baixa 5 m, per a què un projectil giri al voltant de la Terra seguint la seva superfície ha de trigar 1 s en recorre aquests 8 km, d'aquesta manera seguirà una trajectòria paral·lela a la seva superfície.

A través de l'equació del moviment rectilini uniforme:

$x igual v per t$

Substituïm les dades en el Sistema Internacional d'Unitats:

$8000 igual v per 1$

$envoltori caixa v igual 8000 espai estil en línia fracció m entre s fi estil fi envoltori$

Q4

Un satèl·lit circumpolar de l'ESA (Agència Espacial Europea) està en òrbita a 400 km d'alçada sobre la superfície terrestre i dóna una volta a la Terra cada 100 minuts (radi de la Terra 6.400 km). Calculeu:

(a) quina és la seva velocitat angular?

El temps en segons que triga el satèl·lit en donar una volta a la Terra és:

$t igual 100 espai m i n espai igual espai 60000 espai s$

així la velocitat angular serà:

$omega igual fracció lletra fi entre t$

$omega igual fracció numerador 2 per normal pi entre denominador 6000 fi fracció$

$envoltori caixa omega igual fracció normal pi entre 3000 espai estil en línia fracció numerador r a d entre denominador s fi fracció fi estil igual 1 coma 047 per 10 elevat a menys 3 fi elevat espai estil en línia fracció numerador r a d entre denominador s fi fracció fi estil fi envoltori$

(b) quants radiants ha girat en mitja hora?

Per a saber l'angle que gira en mitja hora (1800 s) fem:

$lletra fi igual omega per t igual fracció numerador pi espai entre denominador 3000 fi fracció fracció numerador r a d entre denominador s fi fracció per 30 espai d i e s per fracció numerador 24 espai h entre denominador 1 espai d i a fi fracció per fracció numerador 3600 espai s entre denominador 1 espai h fi fracció$

$lletra fi igual fracció normal pi entre 3000 per 1800$

$envoltori caixa normal lletra fi igual 0 coma 6 per normal pi espai rad fi envoltori$

(c) quina distància ha recorregut en un mes (30 dies)?

Si sabem que el radi de la seva trajectòria és:

$R igual 6400 més 400 espai igual 6800 espai k m espai igual espai 6 coma 8 per 10 elevat a 6 m$

la seva velocitat lineal serà:

$v igual omega per R igual fracció normal pi entre 3000 per 6 coma 8 per 10 elevat a 6 igual 7121 espai estil en línia fracció m entre s fi estil$

i la distància que recorre en 30 dies ( 2,592·10⁶ s) és:

$x igual v per t igual 7121 per 2 coma 592 per 10 elevat a 6$

$estil en línia envoltori caixa x igual 1 coma 85 per 10 elevat a 10 espai m fi envoltori fi estil$

Altra forma de fer-ho:

calculem l'angle que gira en 30 dies

$lletra fi igual omega per t igual fracció pi entre 3000 fracció numerador r a d entre denominador s fi fracció per 30 espai d i e s per fracció numerador 24 espai h entre denominador 1 espai d i a fi fracció per fracció numerador 3600 espai s entre denominador 1 espai h fi fracció$

$lletra fi igual 2714 coma 3 espai r a d$

i l'arc recorregut serà

$s igual lletra fi per R igual 2714 coma 3 espai r a d per 6800 espai k m espai igual 1 coma 85 per 10 elevat a 7 espai k m igual envoltori caixa 1 coma 85 per 10 elevat a 10 espai m fi envoltori$

Q7

Un disc CD amb música gira a 300 rpm.

(a) Quantes voltes fa cada segon?

Tenim que:

$300 espai r p m espai igual espai 300 espai fracció numerador r e v entre denominador m i n fi fracció$

llavors aplicant factors de conversió:

$300 espai fracció numerador r e v entre denominador m i n fi fracció per fracció numerador 1 espai m i n entre denominador 60 espai s fi fracció igual 5 espai estil en línia fracció numerador r e v entre denominador s fi fracció fi estil$

El CD dóna 5 voltes cada segon.

(b) Quina és la seva velocitat angular en el sistema internacional?

La velocitat angular en el sistema internacional d'unitats es mesura en rad/s:

$5 espai fracció numerador r e v entre denominador s fi fracció per fracció numerador 2 per normal pi espai rad entre denominador 1 espai r e v fi fracció igual estil en línia 10 per normal pi espai fracció rad entre normal s fi estil$

$estil en línia envoltori caixa omega igual 10 per normal pi espai fracció rad entre normal s fi envoltori fi estil$

(c) La informació en el CD està gravada en una pista de 5,38 km que té forma d'espiral. Si la duració del CD és de 45 minuts, quantes voltes ha donat el CD?

Si sabem que la durada del CD és 45 minuts i que aquest gira amb una velocitat de 300 voltes cada minut, les voltes que donarà són:

$V o l t e s espai igual espai 300 espai fracció numerador r e v entre denominador m i n fi fracció per 45 espai m i n espai igual 13500 espai m i n$

El CD donarà 13500 voltes

Q9

El Meteosat-8 es troba a una altura de 36.000 km, en una òrbita geostacionària i té una massa total de 1.200 kg. Calculeu l'acceleració i la força centrípetes que actuen sobre el satèl·lit.

Dada: Radi de la Terra 6.400 km.

L'acceleració centrípeta és:

$a subíndex c igual omega al quadrat per r$

Primer calculem la velocitat angular. Si té una òrbita geoestacionària significa que sempre està sobre el mateix punt de la Terra i per tant triga 24 h en fer una volta:

$t igual 24 espai h espai igual 24 per 60 per 60 espai s espai igual espai 86400 espai s$

Per tant:

$omega igual fracció lletra fi entre t igual fracció numerador 2 per normal pi entre denominador 86400 fi fracció igual 7 coma 27 per 10 elevat a menys 5 fi elevat espai estil en línia fracció numerador r a d entre denominador s fi fracció fi estil$

El radi del satèl·lit és:

$r igual 36000 espai k m espai més espai 6400 espai k m espai igual espai 42400 espai k m espai igual espai 4 coma 24 per 10 elevat a 7 espai m$

i l'acceleració centrípeta és:

$a subíndex c igual parèntesi esquerre 7 coma 27 per 10 elevat a menys 5 fi elevat parèntesi dret al quadrat per 4 coma 24 per 10 elevat a 7$

$estil en línia envoltori caixa a subíndex c igual 0 coma 224 espai fracció m entre s al quadrat fi envoltori fi estil$

I la força centrípeta és:

$F igual m per a subíndex c$

$F igual 1200 per 0 coma 224$

$envoltori caixa F igual 269 espai N fi envoltori$

Q10

Fixeu-vos en la Figura 8 on hi ha un satèl·lit girant al voltant de la Terra.


(a) Què proporciona la força que actua sobre el satèl·lit i com s’anomena? (b) Dibuixeu la parella acció-reacció de la força que actua sobre el satèl·lit. (c) Dibuixeu amb un color diferent el vector que representa la velocitat del satèl·lit. (d) Quin angle formen el vector força i el vector velocitat del satèl·lit? (e) La força d’atracció gravitatòria fa variar la velocitat del satèl·lit?

Solució:

a) Què proporciona la força que actua sobre el satèl·lit i com s’anomena?

La força que actua sobre el satèl·lit és la força d'atracció gravitatòria que fa la Terra. S'anomena pes.

P amb fletxa dreta a sobre igual m per g amb fletxa dreta a sobre

(el pes és igual a la massa del satèl·lit per la intensitat del camp gravitatori de la Terra, g)

b) Dibuixeu la parella acció-reacció de la força que actua sobre el satèl·lit.

Forces d'acció i reacció:

c) Dibuixeu amb un color diferent el vector que representa la velocitat del satèl·lit.

Suposant que el satèl·lit gira en sentit antihorari, la representació del vector velocitat lineal és (tangent a la trajectòria):

d) Quin angle formen el vector força i el vector velocitat del satèl·lit?

En una òrbita circular, el radi i la trajectòria són perpendiculars. Com que el vector força és radial i el vector velocitat és tangent a la trajectòria, formen un angle de 90º .

e) La força d’atracció gravitatòria fa variar la velocitat del satèl·lit?

La força d'atracció gravitatòria fa variar la direcció de la velocitat del satèl·lit però no fa variar el mòdul de la velocitat.

Si la velocitat no canviés la seva direcció, el satèl·lit es mantindria en una trajectòria rectilínia. Per tant, si el satèl·lit canvia de direcció, ha d'haver-hi una força que sigui la causa. I aquesta força és la força gravitatòria de la Terra.

Un satèl·lit en òrbita circular segueix un moviment circular uniforme, i per tant es compleix:

$bold italic v negreta igual bold italic omega negreta per bold italic r negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta parèntesi esquerre bold italic m bold italic ò bold italic d bold italic u bold italic l negreta espai bold italic d bold italic e negreta espai bold italic l bold italic a negreta parèntesi dret negreta espai bold italic v bold italic e bold italic l bold italic o bold italic c bold italic i bold italic t bold italic a bold italic t negreta espai bold italic l bold italic i bold italic n bold italic e bold italic a bold italic l negreta espai bold italic d bold italic e bold italic l negreta espai bold italic s bold italic a bold italic t bold italic è bold italic l negreta per bold italic l bold italic i bold italic t omega igual v e l o c i t a t espai a n g u l a r espai d e l espai s a t è l per l i t espai parèntesi esquerre v e l o c i t a t espai d e espai g i r parèntesi dret r igual r a d i espai d e espai l apòstrof ò r b i t a espai parèntesi esquerre d i s t à n c i a espai a l espai c e n t r e espai d e espai l a espai T e r r a coma espai n o espai a espai l a espai s u p e r f í c i e espai t e r r e s t r e parèntesi dret$

com que els valors de r i ω són constants , el mòdul de la velocitat lineal del satèl·lit no varia al llarg de la trajectòria circular (recordeu que la direcció de la velocitat de lineal va canviant).

Per tant l'acceleració normal es manté constant,

$a subíndex n igual fracció v al quadrat entre r$ acceleració normal (centrípeta)

I aplicant la segona llei de Newton en la direcció normal (perpendicular) a la trajectòria és

F subíndex n igual m per a subíndex n m per g igual m per fracció v al quadrat entre r

Q11

La gran sínia de Londres (London Eye) té un diàmetre de 135 metres i quan gira ho fa lentament, donant una volta cada 35 minuts. Calculeu:

(a) l’acceleració centrípeta dels passatgers.

(b) l’angle i les voltes que girarà durant les 10 hores que està oberta al públic

Solució:

Dades de l'enunciat:

Diàmetre D=135 m

freqüència de gir : 1 volta cada 35 minuts

a) acceleració centrípeta o normal $a igual fracció v al quadrat entre r igual omega al quadrat per r$

De l'enunciat podem calcular la velocitat angular i el radi de la sínia, i substituir-ho a la fórmula de a:

$bold italic r bold italic a bold italic d bold italic i espai r igual fracció D entre 2 igual fracció numerador 135 espai m entre denominador 2 fi fracció igual 67 coma 5 espai m bold italic v bold italic e bold italic l bold italic o bold italic c bold italic i bold italic t bold italic a bold italic t negreta espai bold italic a bold italic n bold italic g bold italic u bold italic l bold italic a bold italic r obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la 1 v o l t a espai fletxa dreta 2 pi espai r a d espai igual espai majúscula delta lletra fi fi cel·la fila cel·la 35 espai m i n espai per fracció numerador 60 espai s entre denominador 1 espai m i n fi fracció igual 2100 espai s espai igual majúscula delta t fi cel·la fi taula tanca claus espai espai bold italic omega igual fracció numerador majúscula delta lletra fi entre denominador majúscula delta t fi fracció igual fracció numerador 2 pi espai r a d entre denominador 2100 espai s fi fracció igual 2 coma 99 per 10 elevat a menys 3 fi elevat espai fracció numerador negreta r negreta a negreta d entre denominador negreta s fi fracció$

$bold italic a bold italic c bold italic c bold italic e bold italic l bold italic e bold italic r bold italic a bold italic c bold italic i bold italic ó negreta espai bold italic c bold italic e bold italic n bold italic t bold italic r bold italic í bold italic p bold italic e bold italic t bold italic a bold italic a negreta igual bold italic omega elevat a negreta 2 negreta per bold italic r negreta igual obre parèntesis 2 coma 99 per 10 elevat a menys 3 fi elevat tanca parèntesis al quadrat per 67 coma 5 negreta igual negreta espai negreta 6 negreta coma negreta 04 negreta per negreta 10 elevat a negreta menys negreta 4 fi elevat negreta espai bold italic m negreta per bold italic s elevat a negreta menys negreta 2 fi elevat$

b) Calculem l'angle que girarà en 10h a partir de l'equació del moviment circular uniforme (la velocitat angular és constant), així:

$bold italic majúscula delta bold italic lletra fi igual omega per majúscula delta t igual parèntesi esquerre 2 coma 99 per 10 elevat a menys 3 fi elevat espai r a d per s elevat a menys 1 fi elevat parèntesi dret per parèntesi esquerre 3 coma 6 per 10 elevat a 4 s parèntesi dret igual negreta 108 negreta espai bold italic r bold italic a bold italic d majúscula delta t igual 10 h per fracció numerador 60 espai m i n entre denominador 1 h fi fracció per fracció numerador 60 espai s entre denominador 1 espai m i n fi fracció igual 3 coma 6 per 10 elevat a 4 s$

Les voltes que farà en 10 h:

$negreta 108 negreta espai bold italic r bold italic a bold italic d per fracció numerador 1 espai v o l t a entre denominador 2 pi espai r a d fi fracció igual negreta 17 negreta coma negreta 14 negreta espai bold italic v bold italic o bold italic l bold italic t bold italic e bold italic s$

Una altra manera de fer-ho:

De l'enunciat, sabem que fa 1 volta cada 35 minuts, així, en 10 hores farà:

$negreta 10 negreta espai bold italic h per fracció numerador 60 espai m i n entre denominador 1 espai h fi fracció per fracció numerador 1 espai v o l t a entre denominador 35 espai m i n fi fracció igual negreta 17 negreta coma negreta 14 negreta espai bold italic v bold italic o bold italic l bold italic t bold italic e bold italic s$