Lleis bàsiques i resolució de circuits elèctrics (Resum)

lloc:	Cursos IOC - Batxillerat
Curs:	Electrotècnia (autoformació IOC)
Llibre:	Lleis bàsiques i resolució de circuits elèctrics (Resum)

Imprès per:	Usuari convidat
Data:	dissabte, 4 de maig 2024, 21:44

Taula de continguts

1. Lleis bàsiques
2. Associació de resistències
3. Associació de generadors
4. Divisors de tensió
5. Resolució de circuits per Kirchhoff
6. Resolució de circuits per superposició
7. Resolució de circuits per Thévenin i Norton

1. Lleis bàsiques

La llei d'Ohm

La llei d'Ohm determina que la intensitat del corrent elèctric que travessa un circuit elèctric és directament proporcional a la diferència de potencial i inversament proporcional a la resistència del circuit.

Matemàticament es pot expressar de les següents formes.

I espai igual espai fracció U entre R

U espai igual espai R espai per espai I

R espai igual espai fracció U entre I

La llei de Joule

L'efecte Joule és el fenomen pel qual en circular un corrent per un conductor, part de l'energia dels electrons es transforma en calor.

W espai igual espai R espai per espai I al quadrat espai per espai t

i aplicant la llei d'Ohm

W espai igual espai U espai per espai I espai per espai t espai

La unitat de mesura de l'energia elèctrica és el joule, el símbol de la unitat és correspon a J. De totes formes, com que és una unitat molt petita, en electricitat s'acostuma a utilitzar el watt·hora que té com a símbol Wh. La variable s'anomena W, però també es pot considerar com a calor Q o com a treball T.

La caloria no és una unitat del Sistema Internacional. Per aquest motiu no s'ha d'utilitzar.

La potència elèctrica

La potència elèctrica és la quantitat d'energia consumida o produïda per un element en un temps determinat.

P espai igual fracció W entre t espai espai igual espai U espai per espai I

i aplicant la llei d'Ohm

P espai igual espai R espai per espai I al quadrat espai igual espai fracció U al quadrat entre R

La unitat de mesura de la potència elèctrica és el watt, el símbol de la unitat es correspon a W i la variable s'anomena P.

Exemple

Una resistència elèctrica de 18 Ω està connectada a una línia de 230 V.

Calculeu:

1. Intensitat elèctrica a través de la resistència

$I espai igual espai fracció U entre R espai igual espai fracció numerador 230 espai normal V entre denominador 18 espai normal majúscula omega fi fracció espai igual 12 coma 18 espai normal A$

2. Potència dissipada

$P espai igual espai U espai per espai I espai igual espai 30 espai normal V espai per espai 12.78 espai normal A espai igual 2939 espai normal W$

3. L'energia consumida en 8 hores.

$W espai igual espai U espai per espai I espai per espai t espai igual espai 230 espai normal V espai per espai 12.78 espai normal A espai per espai 8 espai normal h espai igual espai 23510 espai Wh espai igual espai 23 coma 51 espai kWh$

4. Cost de l'energia consumida en les 8 hores si el preu del kWh és de 0,143 €/kWh

$C o s t espai igual espai p r e u espai u n i t a r i espai per espai n u m e r o espai u n i t a t s espai igual espai 0 coma 143 espai € dividit per kWh espai per espai 23 coma 51 espai kWh espai igual espai 3 coma 362 espai €$

2. Associació de resistències

Circuit sèrie

En els circuits en sèrie els components estan associats un darrera l'altra sense cap altre connexió.

El valor de la resistència equivalent* d'una associació en sèrie correspon a la suma de totes les resistències que estan en sèrie.

* la resistència equivalent és la que correspondria a substituir un grup per una única que tingui el mateix comportament.

R subíndex e q fi subíndex espai igual espai R subíndex 1 espai fi subíndex més espai R subíndex 2 espai més espai R subíndex 3 espai més espai..... espai més espai R subíndex n

Circuit paral·lel

En els circuits en paral·lel els dos extrems dels components estan connectats a un mateix punt.

El valor de la resistència equivalent correspon a la inversa de la suma de les inverses.

R subíndex e q fi subíndex espai igual espai fracció numerador 1 entre denominador estil mostrar fracció 1 entre R subíndex 1 més fracció 1 entre R subíndex 2 més fracció 1 entre R subíndex 3 més espai per per per per espai més fracció 1 entre R subíndex n fi estil fi fracció

Matemàticament aquesta forma de calcul es pot simplificar pels següents dos casos.

Si únicament hi ha dues resistències en paral·lel	$R subíndex e q fi subíndex espai igual espai fracció numerador R subíndex 1 espai per espai R subíndex 2 entre denominador R subíndex 1 espai més espai R subíndex 2 fi fracció$
Si les resistències en paral·lel són iguals n = número de resistències R en paral·lel iguals	$R subíndex e q fi subíndex espai igual espai fracció R entre n$

Circuit mixt

El circuit mixt correspon a la combinació de circuits sèrie i paral·lel. El calcul és mes complicat i s'ha de fer per parts elementals de cada tipus fins a arribar a una resistència equivalent.

Normes que ens poden ajudar a la resolució:

Buscar els circuits sèrie. En els circuits sèrie els components estan seguits sense cap altra derivació.
Buscar els circuits paral·lel. En els circuits paral·lels els dos extrems dels components han de estar connectats entre ells. Continuen estant en paral·lel tot i que hi hagi altres connexions a altres components.

Exemple 1

Calculeu el valor de la resistència equivalent a l'associació de resistències del circuit de la figura

R1 = 1 kΩ
R2 = 2,2 kΩ
R3 = 3,3 kΩ
R4 = 4,7 kΩ

Pas 1

Calcular la resistència equivalent Ra resultant del circuit sèrie de R2 I R3

$R a espai igual espai R 2 espai més espai R 3 espai igual espai 2 coma 2 espai normal k normal majúscula omega espai més espai 3 coma 3 espai normal k normal majúscula omega espai igual espai 5 coma 5 espai normal k normal majúscula omega$

Pas 2

Calcular la resistència equivalent Rb resultant del circuit paral·lel de Ra i R4

$R a espai igual espai fracció numerador R a per R 4 entre denominador R a més R 4 fi fracció espai igual espai fracció numerador 5 coma 5 espai normal k normal majúscula omega per 4 coma 7 espai normal k normal majúscula omega entre denominador 5 coma 5 espai normal k normal majúscula omega més 4 coma 7 espai normal k normal majúscula omega fi fracció espai igual espai 2 coma 534 espai normal k normal majúscula omega$

Pas 3

Calcular la resistència equivalen Ra resultant del circuit sèrie de R1 i Rb

$R t espai igual espai R 1 espai més espai R b espai igual espai 1 espai normal k normal majúscula omega espai més espai 2 coma 534 espai normal k normal majúscula omega espai igual espai 3 coma 534 espai normal k normal majúscula omega$

No confiar en com està dibuixat el circuit. No sempre pot ser la forma més explícita.
S'ha de vigilar que les unitats dels components siguin del mateix nivell (tot en Ω, kΩ o MΩ)
Dos fils que es creuen no tenen connexió si no hi ha un punt.

Ull

Exemple 2

Calculeu el valor de la resistència equivalent de l'associació de resistències del circuit de la figura

R1 = 1 kΩ
R2 = 2,2 kΩ
R3 = 3,3 kΩ
R4 = 4,7 kΩ
R5 = 5,1 kΩ

Pas 1

Calcular la resistència equivalent Ra resultant del circuit paral·lel de R1, R2 I R3

$estil mida 14px R subíndex a espai igual espai fracció numerador 1 entre denominador estil mostrar fracció numerador 1 entre denominador R 1 fi fracció més fracció numerador 1 entre denominador R 2 fi fracció més fracció numerador 1 entre denominador R 3 fi fracció fi estil fi fracció igual fracció numerador 1 entre denominador estil mostrar fracció 1 entre 1 més fracció numerador 1 entre denominador 2 coma 2 fi fracció més fracció numerador 1 entre denominador 3 coma 3 fi fracció fi estil fi fracció igual espai 0 coma 569 espai k majúscula omega fi estil$

Pas 2

Calcular la resistència equivalent Rb resultant del circuit paral·lel de R4 i R5

$estil mida 14px R a espai igual espai fracció numerador R 4 per R 5 entre denominador R 4 més R 5 fi fracció espai igual espai fracció numerador 4 coma 7 espai per espai 5 coma 1 entre denominador 4 coma 7 més 5 coma 1 fi fracció espai igual espai 2 coma 518 espai normal k normal majúscula omega fi estil$

Pas 3

Calcular la resistència equivalent Ra resultant del circuit sèrie de Ra i Rb

$estil mida 14px R t espai igual espai R a espai més espai R b espai igual espai 0 coma 569 espai més espai 2 coma 518 espai igual 3 coma 114 espai normal k normal majúscula omega fi estil$

3. Associació de generadors

Associació en sèrie

La tensió total serà la suma de totes les tensions

U_T = U₁+U₂+U₃+.....+U_n = ΣU

S’haurà de considerar el signe de tores els generadors (mateix signe = sumen / diferent signe = resten)

La resistència interna total serà la suma de totes les resistències internes

r_T = r₁+r₂+r₃+.....+r_n = Σr

Si no s’especifica, la resistència interna és 0 (generador ideal)

Associació en paral·lel

Per obtenir la tensió total s´haurien de considerar totes les tensions i resistències internes del circuit a més del circuit on es connecta. En la pràctica es connecten sempre generadors idèntics i en la mateixa polaritat (+ amb +, – amb –). Si no es fa d’aquesta manera hi ha corrents desaprofitats entre els propis generadors.

U_T = U₁=U₂=U₃=.....=U_n

La resistència interna total serà la resistència interna unitària dividida pel número de generadors-

r_T = r / n

Si no s’especifica la resistència interna és 0 (generador ideal)

L’associació en paral·lel s’utilitza per obtenir més intensitat que la que pot subministrar un únic generador

4. Divisors de tensió

Divisors de tensió

Un divisor de tensió és un conjunt de resistències connectades a un generador a fi d’obtenir una tensió més petita.

Aplicant la llei d’Ohm es pot deduir que

R_L és la carrega que es connecta al divisor

Sempre s’ha de garantir que per la resistència R₂ circula un corrent superior al 10% de la que circula per R_L

5. Resolució de circuits per Kirchhoff

Resolució de circuits per Kirchhoff

Nus		És un punt del circuit on es connecten tres o més conductors
Branca		És la part d’un circuit comprès entre dos nusos
Malla		És qualsevol circuit tancat compost per dos o més branques. Sortint d’un nus hem de retornar a ell passant per un o més nusos sense passar per la mateixa malla.
Llei dels nusos		ΣI = 0		En un nus, la suma dels corrents que arriben o surten a un nus ha de valer 0
Llei de les malles		ΣU = Σ R·I		En una malla, la suma de les tensions dels generadors ha de ser igual a la suma de les caigudes de tensió de les resistències
Resolució simplificant les corrents
					En aquest circuit podem veure: 4 nusos: A, B, C i D 6 branques per les que hi circularà una corrent: I1, I2, I3, I4, I5 i I6 . El sentit del corrent que els hi donem és aleatori, ens l’inventem (procurarem que sigui el més lògic possible) si en el resultat final és negatiu, vol dir que la direcció assignada és incorrecta, va en l’altre sentit. 3 malles a les que assignarem una lletra. El corrent haurà de ser el del sentit de les agulles del rellotge: I_A(ABDA), I_B (BCDB) i I_C(ADCA). Podríem considerar-ne més com la que exterior que passa pels nusos (ABCA), però no és precisa, ja que l’únic que faríem és complicar les equacions. Hem d’utilitzar (plantejar) el mínim número de malles que passin per totes les branques.
Plantejament de les equacions. ΣU Començant per un nus, haurem de recòrrer tota la malla posant les tensions + als generadors que tinguin el mateix sentit del corrent de la malla i – els que estiguin en sentit contrari. ΣR·I Començant per el mateix nus farem el recorregut per la malla i sumarem totes les caigudes de tensió. En les branques que hi ha dos corrents (de les malles), considerem + les que corresponen al sentit de la malla que considerem i – les de sentit contrari.			ΣU = Σ R·I Malla A U1–U2+U3 = R1·IA+R2·IA+R3(IA–IB)+R4(IA–IC) Malla B U2+U4 = R3(IB–IA)+R5·IB+R6·IB+R7(IB–IC) Malla C –U3–U5+U6 = R4(IC–IA)+R7(IC–IB)+R8·IC+R9·IC
Treure factor comú de les corrents de les malles. En aquest punt podrem sumar els generadors (amb el seu signe) i resistències quedant equacions molt senzilles.			U1–U2+U3 = (R1+R2+R3+R4)·IA–R3·IB–R4·IC U2+U4 = (R3+R5+R6+R7)·IB–R3·IA–R7·IC –U3–U5+U6 = (R4+R7+R8+R9)·IC–R4·IA–R7·IB
Ordenar les equacions			U1–U2+U3 = (R1+R2+R3+R4)·IA–R3·IB–R4·IC U2+U4 = –R3·IA+(R3+R5+R6+R7)·IB–R7·IC –U3–U5+U6 = –R4·IA–R7·IB+(R4+R7+R8+R9)·IC
Resoleu les equacions per qualsevol procediment matemàtic i, un cop resolt, calculeu les corrents elèctriques de cada branca. En la branca que només hi ha una corrent de malla, aquesta correspon a la corrent de branca (ull amb el sentit). On en hi ha dos, se sumen (o resten segons el sentit de les malles). És preferible restar de la més gran, la més petita. Lògicament el sentit resultant serà el de la gran. Aleshores haurem de comprovar que coincideixi amb el que havíem considerat en el plantejament inicial. Recordeu que si el resultat és negatiu, vol dir que el sentit és l’invers.
I1 = IA	I3 = IA - IC		I5 = IB – IC
I2 = IA - IB	I4 = IB		I6 = IC
Aquest procediment té l’avantatge que és mecànic i si l’apliqueu correctament no us embolicareu amb els sentits de les corrents. A més, amb l’equació ordenada, podeu aplicar el sistema de resolucions de Cramer, molt pràctic en calculadores programables.

6. Resolució de circuits per superposició

Resolució de circuits per superposició

Per solucionar un circuit amb 2 o més generadors per superposició s’han de solucionar tants circuits com generadors tingui i sumant (amb el signe pertinent) les corrents de cada branca.

Els generadors no estimats en cada circuit, es considerarà solament el valor de la seva resistència interna (si no en té és un curtcircuit)

7. Resolució de circuits per Thévenin i Norton

Resolucio de circuits per Thévenin i Norton

Segons el teorema de Thévenin qualsevol part d’un circuit (determinats per A i B) pot ser substituït per un altre circuit format per un generador (U_TH) i una resistència (R_Th) en sèrie

La tensió Thévenin equivalent serà la diferència de potencial entre A i B calculant el circuit obert (no hi ha res connectat entre A i B)

La resistència Thévenin equivalent serà la resistència entre A i B considerant solament la resistència interna dels generadors (si no en té, és un curtcircuit)

Segons el teorema de Norton qualsevol part d’un circuit (determinats per A i B) pot ser substituït per un altre circuit format per una generador de corrent (I_N) i una resistència (R_N)en paral·lel:

El corrent Norton equivalent serà el corrent que circularà entre A i B si entre aquests punts hi ha un curtcircuit (A i B connectades directament)

La resistència Norton equivalent serà la resistència entre A i B considerant solament la resistència interna dels generadors (si no en té, és un curtcircuit)

Per passar d’un circuit a l’altre segons Norton (la llei d’Ohm)

V_Th = R_N · I_N

I_N = V_T
h/R_Th

R_N = R_Th