Resum i dubtes més freqüents lliurament 4

• Només hi ha dos possibles successos resultants de l'experiment: $A, \overline{A}$ (èxit i fracàs).

• Les probabilitats de cada succés $A, \overline{A}$ són les mateixes en qualsevol realització de l'experiment ($p$ i $q = 1-p$, respectivament). És a dir, si es tira una moneda diverses vegades, no canvia la probabilitat d'obtenir cara.

• Tota realització de l'experiment és independent de la resta.

Una variable aleatòria binomial ens donarà el nombre d'èxits en realitzar un nombre determinat d'experiments.

La distribució binomial se sol representa per $B(n,p)$, amb:

• $n$: nombre de realitzacions de l'experiment aleatori.
• $p$: probabilitat d'èxit en realitzar un experiment.

És a dir, si es vol estudiar la distribució binomial que modela $10$ llançaments d'una moneda (en la qual la cara és igual de probable que la creu) es té: $B(10, \frac{1}{2})$

La funció de probabilitat de la distribució binomial és: $p(X=k)=\binom{n}{k}p^k\cdot q^{n-k}$

• $n$: nombre d'experiments.
• $k$: nombre d'èxits.
• $p$: probabilitat d'èxit.
• $q$: probabilitat de fracàs.

El nombre combinatori es defineix: $\displaystyle \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}$

La mitjana d'una distribució binomial és: $\mu= n \cdot p$

La variància és: $\sigma^2= n \cdot p \cdot q= n \cdot p \cdot (1-p)$

La desviació típica és: $\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot q}$

• Pot prendre qualsevol valor real: $(-\infty, +\infty)$
• La funció densitat de probabilitat (fpd o pdf de l'anglès) segueix una corba gaussiana: $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{1}{2} \Big(\frac{x-\mu}{\sigma}\Big)^2}$

La distribució normal estàndard

La distribució normal estàndard és la que té mitjana $\mu=0$ i desviació típica $\sigma=1$, $N(0,1)$

La seva funció densitat és: $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$

En la següent gràfica veiem la seva representació:

A continuació, es pot veure la taula corresponent als valors de la funció distribució de probabilitat, és a dir: $p(Z \leq z)$

La primera posició de la taula indica la probabilitat que el resultat de l'experiment d'un valor inferior a zero (la mitjana), i es pot observar que aquesta probabilitat és $0,5$. La taula mostra que la probabilitat d'un resultat menor que un determinat valor $z$ creix a mesura que creix $z$.

Per interpretar la taula s'ha de veure que la fila indica la unitat i la desena de $z$, mentre que la columna indica el segon decimal (la centèsima). És a dir, a la primera casella de la primera fila es veu la probabilitat $p(Z \leq 0,00)=0,5000$

mentre que en la darrera casella de la primera fila es veu: $p(Z\leq 0,09)=0,5359$

Es pot observar que la taula només dóna les probabilitats per a valors positius de $Z$. Per als valors de $Z < 0$ s'utilitzarà la simetria.

Val a dir que a partir de $3$ ($3$ vegades la desviació típica) la probabilitat és molt propera a 1 $(0,9987)$. Per simetria per a valors menors a $-3$, la probabilitat serà pràcticament nul·la.