Resum Límits i continuïtat

Asímptotes

Asímptotes verticals

Com podem trobar les asímptotes verticals d'una funció?

Una funció té una asímptota vertical en x = a si $Stapel fett l fett i fett m mit fett x fett rechtspfeil fett a darunter bold italic f fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich fett unendlichkeitszeichen$

Majoritàriament, els possibles valors de x on pot passar això són els punts que no són del domini i els punts que sent del domini hi ha algun límit lateral que dóna ∞

Un cop detectats aquests punts cal comprovar que $Limes als x rechtspfeil a von f linke klammer x rechte klammer gleich unendlichkeitszeichen$ .

Per poder dibuixar la gràfica de la funció al voltant d'aquesta asímptota, cal fer els límits laterals. I en funció del resultat podem saber com van les branques de l'asímptota.

Exemple 1

$bold italic f fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich Zähler fett 1 geteilt durch Nenner fett x fett plus fett 1 Bruchergebnis$

Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer minus 1 rechte geschweifte klammer$

Mirem si hi ha asímptota en x=-1

$Limes als x rechtspfeil minus 1 von Leerzeichen Zähler 1 geteilt durch Nenner x plus 1 Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 gleich unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen bold italic x fett gleich fett minus fett 1 fett Leerzeichen fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V$

Per determinar els signes de l' $unendlichkeitszeichen$ , fem els límits laterals:

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil minus 1 hoch plus von Leerzeichen Zähler 1 geteilt durch Nenner x plus 1 Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil minus 1 hoch minus von Leerzeichen Zähler 1 geteilt durch Nenner x plus 1 Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 hoch minus gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen$

Exemple 2

$bold italic f fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich Zähler fett minus fett x geteilt durch Nenner fett x fett minus fett 2 Bruchergebnis$

Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer 2 rechte geschweifte klammer$

Mirem si hi ha asímptota en x=2

$Limes als x rechtspfeil 2 von Zähler minus x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich 2 geteilt durch 0 gleich unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 2 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits

laterals:

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von Zähler minus x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von Zähler minus x geteilt durch Nenner x minus 2 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch minus Bruchergebnis gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen$

Exemple 3

$bold italic f fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich fett x geteilt durch Klammer öffnen fett x fett minus fett 2 Klammer schließen hoch fett 2$

Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer 2 rechte geschweifte klammer$

Mirem si hi ha asímptota en x=2

$Limes als x rechtspfeil 2 von Leerzeichen x geteilt durch Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat gleich 2 geteilt durch 0 gleich unendlichkeitszeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen fett Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 2 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von x geteilt durch Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat gleich 2 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von x geteilt durch Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat gleich 2 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen$

Exemple 4

$bold italic f fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich Zähler fett minus fett x geteilt durch Nenner Klammer öffnen fett x fett minus fett 2 Klammer schließen hoch fett 2 Bruchergebnis$

Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer 2 rechte geschweifte klammer$

Mirem si hi ha asímptota en x=2

$Limes als x rechtspfeil 2 von Leerzeichen Zähler minus x geteilt durch Nenner Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 Bruchergebnis gleich unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 2 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch plus von Zähler minus x geteilt durch Nenner Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil 2 hoch minus von Zähler minus x geteilt durch Nenner Klammer öffnen x minus 2 Klammer schließen im Quadrat Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen$

Exemple 5

$bold italic f fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich Zähler fett x fett minus fett 2 geteilt durch Nenner fett x hoch fett 2 fett minus fett 9 Bruchergebnis$

Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer plusminus 3 rechte geschweifte klammer$

Mirem si hi ha asímptota en x=3 i en x=-3

$x gleich 3$

$fett lim mit fett x fett rechtspfeil fett 3 darunter Leerzeichen Zähler fett x fett minus fett 2 geteilt durch Nenner fett x hoch fett 2 fett minus fett 9 Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 gleich unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 3 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V Leerzeichen$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als gerade x rechtspfeil 3 hoch plus von Leerzeichen Zähler gerade x minus 2 geteilt durch Nenner gerade x im Quadrat minus 9 Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als gerade x rechtspfeil 3 hoch minus von Leerzeichen Zähler gerade x minus 2 geteilt durch Nenner gerade x im Quadrat minus 9 Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 hoch minus gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen$

$x gleich minus 3$

$fett lim mit fett x fett rechtspfeil fett minus fett 3 darunter Leerzeichen Zähler fett x fett minus fett 2 geteilt durch Nenner fett x hoch fett 2 fett minus fett 9 Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 gleich unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen bold italic x fett gleich fett minus fett 3 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A fett. bold italic V Leerzeichen$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als gerade x rechtspfeil minus 3 hoch plus von Leerzeichen Zähler gerade x minus 2 geteilt durch Nenner gerade x im Quadrat minus 9 Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 hoch minus gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als gerade x rechtspfeil minus 3 hoch minus von Leerzeichen Zähler gerade x minus 2 geteilt durch Nenner gerade x im Quadrat minus 9 Bruchergebnis gleich 1 geteilt durch 0 hoch plus gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen$

Exemple 6

$bold italic f fett linke klammer bold italic x fett rechte klammer fett gleich Zähler fett x fett minus fett 1 geteilt durch Nenner fett x hoch fett 2 fett minus fett 1 Bruchergebnis$

Dom(f(x))= $gerade reelle Zahlen minus linke geschweifte klammer minus 1 Komma Leerzeichen 1 rechte geschweifte klammer$

Mirem si hi ha asímptota en x = 1

$Limes als x rechtspfeil 1 von Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich 0 geteilt durch 0 Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen Leerzeichen Limes als x rechtspfeil 1 von Zähler aufwärtsdiagonal Strike linke klammer x minus 1 rechte klammer Strikeende geteilt durch Nenner aufwärtsdiagonal Strike linke klammer x minus 1 rechte klammer Strikeende linke klammer x plus 1 rechte klammer Bruchergebnis gleich 1 halber Bruch dicker rechtspfeil bold italic N bold italic o fett Leerzeichen bold italic h bold italic i fett Leerzeichen bold italic h bold italic a fett Leerzeichen bold italic A bold italic V fett Leerzeichen bold italic e bold italic n fett Leerzeichen bold italic x fett gleich fett 1$

Mirem si hi ha asímptota en x = -1

$Limes als x rechtspfeil minus 1 von Leerzeichen Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 Bruchergebnis gleich unendlichkeitszeichen Leerzeichen Leerzeichen rechtspfeil Leerzeichen bold italic x fett gleich fett minus fett 1 fett Leerzeichen bold italic é bold italic s fett Leerzeichen bold italic A bold italic V$

Per determinar els signes de l'∞, fem els límits laterals:

$öffnen Tabellenattribute Spaltenausrichtung right Ende Attribute Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil minus 1 hoch plus von Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch minus Bruchergebnis gleich plus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Zeile Zelle Limes als x rechtspfeil minus 1 hoch minus von Zähler x minus 1 geteilt durch Nenner x im Quadrat minus 1 Bruchergebnis gleich Zähler minus 2 geteilt durch Nenner 0 hoch plus Bruchergebnis gleich minus unendlichkeitszeichen Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen$