Resum conceptes bàsics del lliurament 5

La derivació i la integració són dos procediments matemàtics molt potents i útils en la resolució d'una infinitat de problemes. Aquest dos procediments són la base del Càlcul infinitesimal.

La integració permet calcular àrees i volums de cossos geomètrics i resoldre problemes d'altres àmbits, com ara l'Economia i la Física.

En aquest recurs trobareu un resum dels conceptes bàsics sobre integració i exemples d'aplicació.

S'explica com:

• Calcular la funció primitiva d'una funció
• Calcular integrals immediates i quasi-immediates
• Calcular integrals pels mètodes d'integració de substitució i parts
• Calcular integrals de funcions racionals senzilles
• Calcular integrals definides
• Calcular àrea de la regió del pla compresa entre dos funcions
• La integral permet resoldre situacions de la vida real.

La integració.

Exemple

Posem aquesta K, que vol dir que qualsevol nombre va bé.

Dit d'una altra forma :

Observeu que si derivem la funció g(x) = x + k  obtenim g ' (x) = 1

Per tant es compleix la idea de que fer la integral de f(x) és buscar una funció g(x) que al derivar-la dona  g ' (x) = f(x)

Exemple

Exemple

Exemple

Taula d'integrals immediates

Primitives immediates		Primitives immediates

Primitives immediates trigonomètriques		Primitives immediates trigonomètriques

Integral indefinida. Primitiva. Diferències entre els dos conceptes.

Quines propietats puc aplicar en el càlcul d'integrals i quines no?

Les úniques propietats que són vàlides i per tant podem utilitzar són :

En cap cas són vàlides les igualtats :

Com puc aplicar les propietats anteriors?

Propietat 1:

Utilitat 1 :  quan un nombre que està multiplicant a tota la funció ens interessa que no estigui dins la integral ja que la coneixem

Exemples :

Utilitat 2 :  quan ens interessaria que hi hagi un nombre que està multiplicant a tota la funció perquè sapiguem resoldre la integral

Exemples :

En aquest cas ens interessava tenir un "5" dins de la integral ja que sabem que:    

En aquest exemple ens interessava tenir un "2" dins de la integral ja que sabem que:  

En aquest exemple ens interessava tenir un "3" dins de la integral ja que:

Propietat 2 i 3:

Utilitat  :  quan sabem resoldre la integral per separat de cada funció

Exemples :

I ara acabem amb exemples que combinen les tres propietats

Exemples :

Com puc fer més fàcil el càlcul d'algunes integrals?

Exemple 1.

Exemple 2.

Exemple 3.

Exemple 1.

Mètode d'integració per parts

Mètode

En la integració per parts com sabem quin dels dos membres és u i quin és dv? u és sempre el primer?

No és sempre u el primer factor. L'ordre no determina l'elecció. Normalment procedim de la següent manera:

• Si els dos factors que s'estan multiplicant els se integrar i un dels dos és un polinomi, llavors agafem com a u el polinomi. D'aquesta manera en la integral que queda surt el grau rebaixat i per tant una integral més senzilla. per exemple:

Ara tornaríem a fer el mateix amb la integral que ens queda que com veus és del mateix estil però on el polinomi és d'un grau menor

• Si sols sabem integrar un dels dos factors llavors, aquest és dv. Per exemple
  

• De vegades no en sap integrar cap  i sols hi ha un factor. En aquest cas afegim la funció 1 multiplicant i aquesta serà la funció a derivar. Per exemple

• Si se sap integrar les dues funcions, en principi s'ha de provar de les dues maneres i escollir la que doni lloc a una integral més senzilla.

Si quan busquem la primitiva d'una funció en aquesta hi ha un In x (logaritme neperià de x) aquest té alguna integral indefinida immediata? Com es resol?

No hi ha un mètode directe. Depèn de la integral si és quasi immediata o si es fa per canvi de variable, o per parts o altres mètodes que no estudiareu en aquest curs.

Abans heu vist un exemple que contenia un logaritme i que s'ha resolt per parts. Ara us mostrem un exemple on aplicarem canvi de variable i integral quasi-immediata.

Exemple:

Com a integral quasi-immediata:

Fixeu-vos que si s'arregla l'expressió de la funció a integrar s'adequa a aplicar que

Hem inserit un 2 que necessitava ja que . 

De fet s'ha multiplicat per 1 =2/2  I PER TANT queda igual .

Ara ja podem finalitzar la integral

Per canvi de variable:

• Càlcul d'integrals definides
• Concepte d'integral definida
•  Càlcul d'àrees sota una corba

Com es calcula una integral definida?

Si f(x) és contínua en [a,b] i G(x) és una primitiva seva, aleshores:

Exemple 1:

Exemple 2:

Primer busquem una primitiva de la funció.

Observem que   i per tant és una integral immediata

Ara ja podem resoldre la integral definida

Exemple 3:

Primer busquem una primitiva de la funció.

Observem que   i per tant és una integral immediata

Ara ja podem resoldre la integral definida

Què representa fer una integral definida?

La integral definida   representa fer una suma i restes d'àrees compreses entre la gràfica de la funció, l'eix d'abscisses i les rectes x=a i x=b, tenint en compta que si l'àrea queda per sota de l'eix de les X és resta i si queda per sobre es suma

Per exemple si tenim una funció la gràfica de la qual és la de sota, tindríem que

Comprovem això amb un exemple concret

Exemple 1:

Calculem primer la integral definida de la funció f(x)=x-1 amb límits d'integració x=-2 i x=3 (per la regla de Barrow)

Ara comprovem aquest resultat amb el càlcul de la suma o resta d'àrèes

Com trobar l'àrea compresa entre la gràfica d'una funció, l'eix OX i dues abscisses?

Per trobar una àrea compresa entre la gràfica d'una funció f(x), l'eix d'abscisses i les rectes x=a i x=b cal seguir els passos

1. Trobar els punts de tall de la gràfica de la funció amb l'eix d'abscisses resolent l'equació f(x)=0

2. Seleccionar d'entre els punts de tall obtinguts, aquells que es trobin en l'interval [a,b]. Imaginem que aquests són x₁, x₂ , x₃ i x₄

3. L'interval [a,b] queda dividit en altres intervals si col·loquem els valors anteriors : [a, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄] i [x₄, b]

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota

5. En funció de si l'àrea obtinguda queda per sobre o per sota caldrà agafar la integral definida o canviar-li el signe.

Per exemple en el cas:

Exemple 1 :

Anem a trobar l'àrea compresa entre la gràfica de la funció , l'eix d'abscisses i les rectes x = -2 i x = 1'5

1. 

2. Dels valors obtinguts agafem els valors x = -1 i x = 1

3. L'interval [-2,1'5] queda dividit en 3 intervals: [-2,-1], [-1,1] i [1,1'5] i per tant tindrem 3 àrees també:

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota. Per això busquem la imatge d'un valor de cada interval:

5. Calculem el valor de les diferents àrees i finalment les sumem:  Per fer els càlculs el més exacte possible posarem 1,5= 3/2

Exercici:

Resolució:

Per trobar una àrea compresa entre la gràfica d'una funció f(x), i l'eix d'abscisses , cal seguir els passos

1. Trobar els punts de tall de la gràfica de la funció amb l'eix d'abscisses resolent l'equació f(x)=0

2. Suposem que els punts de tall corresponen a  x₁, x₂ , x₃ i x₄

3. Els intervals on treballarem seran: [x₁, x₂], [x₂, x₃], [x₃, x₄]

4. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota

5. En funció de si l'àrea obtinguda queda per sobre o per sota caldrà agafar la integral definida o canviar-li el signe.

Anem a trobar l'àrea compresa entre la gràfica de la funció ,  i l'eix d'abscisses.

1. 

2. Els 2 intervals, en els que treballarem són: [-1,0], [0,1] i per tant tindrem 2 àrees també:

3. Per a cada interval trobat hem d'esbrinar si la gràfica de la funció queda per sobre l'eix OX o per sota. Per això busquem la imatge d'un valor de cada interval:

Àrea =

El primer pas que s'ha de fer és trobar els punts d'intersecció entre les dues corbes, resolent el sistema d'equacions:

Àrea = [Àrea compresa entre les dues funcions i x=-3 i x=-2]   +  [Àrea compresa entre les dues funcions i x=-2 i x=0]

Recordant que un àrea ha de ser sempre positiva.