Resum conceptes bàsics del lliurament 2

Justifiqueu que la funció polinòmica f(x) = x³ + x + 1 té un zero comprés entre −1 y 0.

O sigui que aquesta equació x³ + x + 1=0 té una solució, el valor de la qual està entre -1 i 0

Aproximeu aquest valor a 1 decimal.

Resposta:

Buscar el zero d'una funció f(x) és equivalent a resoldre l'equació f(x)=0 i trobar la solució.

A vegades trobar una solució d'una equació és difícil, per això en ocasions es pot usar el T. de Bolzano, i tractar de "cercar-la"

De l'enunciat es pot pensar que la solució està en [-1,0], i per tant serà aproximadament : x= -1 o bé x≈-0,9 o bé x≈-0,8 o bé x≈-0,7 .... o bé x≈-0,1 o bé x=0

Apliquem el T. de Bolzano en l'interval [-1,0]

$Anfang mathsize 12px Stil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen öffnen Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen é s Leerzeichen u n a Leerzeichen f u n c i ó Leerzeichen p o l i n ò m i c a Leerzeichen i Leerzeichen p e r Leerzeichen t a n t Leerzeichen é s Leerzeichen c o n t i n u a Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen i n t e r v a l Leerzeichen linke eckige klammer minus 1 Komma Leerzeichen 0 rechte eckige klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 1 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 1 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 1 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 Leerzeichen gleich Leerzeichen minus 1 Leerzeichen kleiner als Leerzeichen 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer 0 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen 0 Leerzeichen plus Leerzeichen 0 Leerzeichen plus Leerzeichen 1 größer als 0 Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil P e l Leerzeichen T. B o l z a n o Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen " c " Leerzeichen q u e Leerzeichen Leerzeichen c Leerzeichen element von Leerzeichen linke klammer minus 1 Komma Leerzeichen 0 rechte klammer Leerzeichen t a l Leerzeichen q u e Doppelpunkt Leerzeichen f linke klammer c rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen 0 Ende Stil$

Per tant segur que hi ha (al menys) un valor que és solució de l'equació i que aquest valor és x≈-0,9 o bé x≈-0,8 o bé x≈-0,7 .... o bé x≈-0,1

Per afinar més i saber el primer decimal de la solució hem de fer el punt mig de l'interval [−1, -0.5]

$Anfang mathsize 12px Stil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen öffnen Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen é s Leerzeichen u n a Leerzeichen f u n c i ó Leerzeichen p o l i n ò m i c a Leerzeichen i Leerzeichen p e r Leerzeichen t a n t Leerzeichen é s Leerzeichen c o n t i n u a Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen i n t e r v a l Leerzeichen linke eckige klammer minus 1 Komma Leerzeichen minus 0.5 rechte eckige klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 1 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 1 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 1 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 Leerzeichen gleich Leerzeichen minus 1 Leerzeichen kleiner als Leerzeichen 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.5 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.5 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.5 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich 0.375 größer als 0 Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil P e l Leerzeichen T. B o l z a n o Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen " c " Leerzeichen q u e Leerzeichen Leerzeichen c Leerzeichen element von Leerzeichen linke klammer minus 1 Komma minus 0.5 rechte klammer Leerzeichen t a l Leerzeichen q u e Doppelpunkt Leerzeichen f linke klammer c rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen 0 Ende Stil$

Per tant x≈-0,9 o bé x≈-0,8 o bé x≈-0,7 .... o bé x≈-0,5

Seguim, tornem a dividir l'interval en dues parts i provarem en l'interval [−1, -0.8]. I si no funciona buscarem en l'interval [−0,8, -0.5]

$Anfang mathsize 12px Stil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen öffnen Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen é s Leerzeichen u n a Leerzeichen f u n c i ó Leerzeichen p o l i n ò m i c a Leerzeichen i Leerzeichen p e r Leerzeichen t a n t Leerzeichen é s Leerzeichen c o n t i n u a Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen i n t e r v a l Leerzeichen linke eckige klammer minus 1 Komma Leerzeichen minus 0.8 rechte eckige klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 1 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 1 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 1 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 Leerzeichen gleich Leerzeichen minus 1 Leerzeichen kleiner als Leerzeichen 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.8 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.8 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.8 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich minus 0.312 kleiner als 0 Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil N o Leerzeichen p o d e m Leerzeichen a p l i c a r Leerzeichen e l Leerzeichen T. Leerzeichen d e Leerzeichen B o l z a n o Ende Stil$

Provem en [-0,8,-0.5]

Anfang mathsize 12px Stil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen öffnen Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen é s Leerzeichen u n a Leerzeichen f u n c i ó Leerzeichen p o l i n ò m i c a Leerzeichen i Leerzeichen p e r Leerzeichen t a n t Leerzeichen é s Leerzeichen c o n t i n u a Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen i n t e r v a l Leerzeichen linke eckige klammer minus 0.8 Komma Leerzeichen minus 0.5 rechte eckige klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.8 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.8 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.8 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich minus 0.312 kleiner als 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.5 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.5 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.5 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich 0.375 größer als 0 Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil P e l Leerzeichen T. B o l z a n o Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen &quot; c &quot; Leerzeichen q u e Leerzeichen Leerzeichen c Leerzeichen element von Leerzeichen linke klammer minus 0.8 Komma minus 0.5 rechte klammer Leerzeichen t a l Leerzeichen q u e Doppelpunkt Leerzeichen f linke klammer c rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen o Ende Stil

Per tant x≈-0,7 o bé x≈-0,6 o bé x≈-0,5

Provem en [-0,8,-0.6]

Anfang mathsize 12px Stil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen öffnen Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen é s Leerzeichen u n a Leerzeichen f u n c i ó Leerzeichen p o l i n ò m i c a Leerzeichen i Leerzeichen p e r Leerzeichen t a n t Leerzeichen é s Leerzeichen c o n t i n u a Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen i n t e r v a l Leerzeichen linke eckige klammer minus 0.8 Komma Leerzeichen minus 0.6 rechte eckige klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.8 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.8 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.8 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich minus 0.312 kleiner als 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.6 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.6 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.6 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich 0.184 größer als 0 Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil P e l Leerzeichen T. B o l z a n o Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen &quot; c &quot; Leerzeichen q u e Leerzeichen Leerzeichen c Leerzeichen element von Leerzeichen linke klammer minus 0.8 Komma minus 0.6 rechte klammer Leerzeichen t a l Leerzeichen q u e Doppelpunkt Leerzeichen f linke klammer c rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen o Ende Stil

Per tant x≈-0,7 o bé x≈-0,6

Encara hauríem de provar en un interval [-0,8,-0.7]

$Anfang mathsize 12px Stil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen öffnen Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen é s Leerzeichen u n a Leerzeichen f u n c i ó Leerzeichen p o l i n ò m i c a Leerzeichen i Leerzeichen p e r Leerzeichen t a n t Leerzeichen é s Leerzeichen c o n t i n u a Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen i n t e r v a l Leerzeichen linke eckige klammer minus 0.8 Komma Leerzeichen minus 0.7 rechte eckige klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.8 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.8 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.8 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich minus 0.312 kleiner als 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.7 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.7 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.7 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich minus 0.043 kleiner als 0 Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil E l Leerzeichen T. B o l z a n o Leerzeichen n o Leerzeichen f u n c i o n a Ende Stil$

Hauríem de provar en un interval [-0,7,-0.6]

Anfang mathsize 12px Stil Leerzeichen Leerzeichen Leerzeichen öffnen Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle Tabelle Zeile Zelle f linke klammer x rechte klammer Leerzeichen é s Leerzeichen u n a Leerzeichen f u n c i ó Leerzeichen p o l i n ò m i c a Leerzeichen i Leerzeichen p e r Leerzeichen t a n t Leerzeichen é s Leerzeichen c o n t i n u a Leerzeichen e n Leerzeichen e l Leerzeichen i n t e r v a l Leerzeichen linke eckige klammer minus 0.7 Komma Leerzeichen minus 0.6 rechte eckige klammer Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.7 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.7 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.7 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich minus 0.043 kleiner als 0 Ende Zelle Zeile Zelle f linke klammer minus 0.6 rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen linke klammer minus 0.6 rechte klammer hoch drei Leerzeichen plus Leerzeichen linke klammer minus 0.6 rechte klammer Leerzeichen plus Leerzeichen 1 gleich 0.184 größer als 0 Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle Ende Zelle Ende Tabelle geschweifte Klammern schließen dicker rechtspfeil P e l Leerzeichen T. B o l z a n o Leerzeichen e x i s t e i x Leerzeichen u n Leerzeichen v a l o r Leerzeichen &quot; c &quot; Leerzeichen q u e Leerzeichen Leerzeichen c Leerzeichen element von Leerzeichen linke klammer minus 0.7 Komma minus 0.6 rechte klammer Leerzeichen t a l Leerzeichen q u e Doppelpunkt Leerzeichen f linke klammer c rechte klammer Leerzeichen gleich Leerzeichen o Ende Stil

Per tant x≈-0,6