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Resum de continguts sobre funcions

Dominis a les funcions definides a trossos

En una funció a trossos hi ha diferents expressions. Per calcular la imatge per un valor de la x s'utilitza una o altra expressió depenent de les condicions de cadascuna. Llavors el domini està format per tot el conjunt de valors de x els quals tenen imatge

Exemple 1

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte table ligne cellule tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule x moins 1 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s i espace espace espace espace espace x inférieur ou égal à moins 3 fin de cellule ligne cellule numérateur de la fraction 1 au-dessus du dénominateur x plus 2 fin de la fraction espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s i espace espace moins 3 inférieur à x inférieur à 0 fin de cellule fin de tableau fin de cellule ligne cellule x au carré plus 2 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s i espace espace 0 inférieur à x inférieur ou égal à 1 fin de cellule ligne cellule 5 espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace s i espace espace espace espace espace espace espace espace x supérieur ou égal à 3 fin de cellule fin de table fin

té 4 trossos.

Intentem buscar imatges per alguns valors de x

f(-4)=(-4)-1=-5     (expressió 1a    ja que -4≤-3)

f(-3)=(-3)-1=-4     (expressió 1a    ja que -3≤-3)

f(-1)=1/(-1+2) =1     (expressió 2a    ja que -3<-1<0)

f(-2)= 1/(-2+2)=1/0  que NO EXISTEIX   (expressió 2a    ja que -3<-2<0)

f(0)=NO EXISTEIX ja que no compleix cap de les 4 condicions

f(0'5)=(0'5)2+2=2'25     (expressió 3a    ja que 0<0'5≤1)

f(1)=(1)2+2=3     (expressió 3a    ja que 0<1≤1)

f(3)=5     (expressió 4a    ja que 3≥3)

f(4'2)=5     (expressió 4a    ja que 4'2≥3)

En definitiva estudiant cadascun dels trossos tenim:

    • Si x≤ -3 llavors té imatge, la funció és polinòmica i es calcula substituint en l'expressió x moins 1
    • Si x appartient à parenthèse gauche moins 3 virgule 0 parenthèse droite la funció és racional. Llavors té imatge, llevat del cas x= -2, valor on s'anul·la el denominador i es calcula substituint en l'expressió numérateur de la fraction 1 au-dessus du dénominateur x plus 2 fin de la fraction .
    • Six appartient à parenthèse gauche 0 virgule 1 crochet droit llavors té imatge ( la funció és polinòmica) i es calcula substituint en l'expressió x au carré plus 2
    • Si x ≥ 3 llavors té imatge i val 5 (la funció és constant)

I per tant el cadre englobant D o m parenthèse gauche f parenthèse gauche x parenthèse droite parenthèse droite égal à parenthèse gauche moins infini virgule moins 2 parenthèse droite espace union espace parenthèse gauche moins 2 virgule 0 parenthèse droite espace union espace parenthèse gauche 0 virgule 1 crochet droit espace union espace crochet gauche 3 virgule plus infini parenthèse droite fin


Exemple 2:



Exemple 3

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à accolade ouverte tableau d'attributs aligné sur la left fin des attributs ligne cellule numérateur de la fraction x au-dessus du dénominateur x moins 3 fin de la fraction espace s i espace x inférieur à 0 fin de cellule ligne cellule x plus 1 espace espace espace s i espace x supérieur ou égal à 2 fin de cellule fin de tableau espace fin

Aquesta funció té dos trossos diferenciats i fixa't que hi ha un conjunt de punts on no està definida: els valors entre 0 i 2. Perfer imatges de valors negatius ens haurem de mirar el tros de dalt i pels valors més grans o igual que 2 haurem de mirar la funció de baix i pels valors entre 0 i 2 no té expressió.

El primer tros és racional. En principi hem d'evitar dividir per 0. El denominador s'anul·la si x= 3, però en ser un valor positiu la seva imatge es faria aplicant la definició del segon tros, per tant el primer tros està ben definida per tots els negatius.

El segon tros és polinòmic i per tant no té cap problema de definició, està ben definida per tots els valors més grans o iguals a 0.

En definitiva l'únic problema de definició ve donat per com ens han definit la funció. Tenim doncs que cadre englobant D o m espace espace f espace égal à espace simple nombres réels moins crochet gauche 0 virgule 2 parenthèse droite égal à parenthèse gauche moins infini virgule 0 parenthèse droite espace union espace crochet gauche 2 virgule plus infini parenthèse droite fin