Recordem

lloc:	Cursos IOC - Batxillerat
Curs:	Matemàtiques I (Bloc 2) ~ gener 2020
Llibre:	Recordem

Imprès per:	Usuari convidat
Data:	dimarts, 7 de maig 2024, 01:20

Taula de continguts

1. Operacions amb nombres
2. Introducció
3. Quadrat d'un binomi
4. Equacions 1r grau
5. Equació 2n grau
6. Equacions 2n grau incompletes
7. Sistemes 2 equacions, 2 incògnites
8. Errors freqüents

1. Operacions amb nombres

Parèntesis, signes, prioritat operacions

Exemples

$7 menys parèntesi esquerre 3 menys 2 parèntesi dret igual 7 menys 3 més 2 igual 9 menys 3 igual 6 2 per 5 més 3 igual 10 més 3 igual 13 2 per parèntesi esquerre 5 més 3 parèntesi dret igual 2 per 8 igual 16 3 per 5 al quadrat igual 3 per 25 igual 75 parèntesi esquerre 3 per 5 parèntesi dret al quadrat igual 15 al quadrat igual 225 espai espai espai espai espai espai espai o espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre 3 per 5 parèntesi dret al quadrat igual 3 al quadrat per 5 al quadrat igual 225 parèntesi esquerre menys 2 parèntesi dret al cub igual menys 8 espai espai espai espai espai espai espai menys 2 al cub igual menys 8 parèntesi esquerre menys 3 parèntesi dret al quadrat igual 9 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys 3 al quadrat igual menys 9 espai espai espai$

Potències Exemples

$a elevat a 0 igual 1 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 5 elevat a 0 igual 1 a elevat a s per a elevat a t igual a elevat a s més t fi elevat espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 al quadrat per 3 elevat a 5 igual 3 elevat a 7 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 10 al cub per 10 elevat a menys 5 fi elevat igual 10 elevat a menys 2 fi elevat espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció a elevat a s entre a elevat a t igual a elevat a s menys t fi elevat espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció 7 al quadrat entre 7 elevat a 5 igual 7 elevat a 2 menys 5 fi elevat igual 7 elevat a menys 3 fi elevat igual fracció 1 entre 7 al cub espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fracció 10 al cub entre 10 elevat a 7 igual 10 elevat a menys 4 fi elevat espai obre parèntesis a elevat a s tanca parèntesis elevat a n igual a elevat a s per n fi elevat espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai parèntesi esquerre 2 al cub parèntesi dret elevat a 5 igual 2 elevat a 15 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai a elevat a menys n fi elevat igual fracció 1 entre a elevat a n espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 elevat a menys 5 fi elevat igual fracció 1 entre 3 elevat a 5 espai espai espai espai espai a elevat a 1 dividit per n fi elevat igual arrel n-èsima de a espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 5 elevat a 1 dividit per 3 fi elevat igual arrel cúbica de 5 espai espai espai espai espai espai a elevat a s dividit per n fi elevat igual arrel n-èsima de a elevat a s fi arrel espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 5 elevat a 2 dividit per 3 fi elevat igual arrel cúbica de 5 al quadrat fi arrel espai espai espai espai$

Fraccions

$2 per fracció 5 entre 7 igual fracció 10 entre 7 2 més fracció 3 entre 5 igual fracció numerador 2 per 5 més 3 entre denominador 5 fi fracció igual fracció 13 entre 5 fracció 7 entre 4 menys fracció 2 entre 3 igual fracció numerador 7 per 3 menys 2 per 4 entre denominador 12 fi fracció igual fracció 13 entre 12$

$fracció 5 entre 9 per fracció 6 entre 10 igual fracció 30 entre 90 igual 1 terç$

$fracció 2 entre 3 dos punts fracció 5 entre 7 igual fracció numerador 2 per 7 entre denominador 3 per 5 fi fracció igual fracció 14 entre 15$

2. Introducció

En aquest quadern destaquem operacions, fórmules i regles bàsics que s'han de saber de cursos anteriors. Convé repassar-les per no fer errors greus. Penseu que, qualsevol que sigui el tema que s'estigui estudiant és imprescindible no fer errors de càlcul. En cas que hi hagi es penalitzaran.

En els següents capítols d'aquest quadern, indiquem els més importants. En cas que necessiteu alguna cosa més o dubteu de com s'ha de fer alguna operació, no dubteu en demanar-lo en el fòrum de dubtes.

3. Quadrat d'un binomi

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} (a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Exemples:

$(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9 (x - 3)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} - 6 x + 9 (x + 3) \cdot (x - 3) = x^{2} - 3^{2} = x^{2} - 9$

4. Equacions 1r grau

Solució

$x + 2 = 5 \to x = 5 - 2 = 3 x - 2 = 5 \to x = 5 + 2 = 7 - x + 2 = 5 \to - x = 5 - 2 \to - x = 3 \to x = - 3 - x - 2 = 5 \to - x = 5 + 2 \to - x = 7 \to x = - 7 2 x = 3 \to x = \frac{3}{2} - 2 x = 3 \to x = \frac{3}{- 2} = - \frac{3}{2} 2 x = - 4 \to x = \frac{- 4}{2} = - 2 - 2 x = 4 \to x = \frac{4}{- 2} = - 2 - 2 x = - 4 \to x = \frac{- 4}{- 2} = 2$

5. Equació 2n grau

$a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0) x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Exemple 1

$2 x^{2} + 3 x - 2 = 0 x = \frac{- 3 \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{- 3 \pm 5}{4} = \{\begin{cases} \frac{- 3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ \frac{- 3 - 5}{4} = \frac{- 8}{4} = - 2 \end{cases}$

Exemple 2

$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0 x = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4} = \{\begin{cases} \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \\ \frac{3 - 5}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Exemple 3

$x^{2} - 5 x + 6 = 0 x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} = \{\begin{cases} \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \end{cases}$

Exemple 4

$x^{2} - 5 x + 7 = 0 x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{- 3}}{2} N o t é s o l u c i ó$

6. Equacions 2n grau incompletes

Una equació de 2n grau $a x^{2} + b x + c = 0$ és incompleta quan els coeficient b o c són zero

- Cas $b = 0$

$a x^{2} + c = 0$

$a x^{2} = - c \to x^{2} = - \frac{c}{a} \to x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$

Exemples

$4 x^{2} - 25 = 0 \to 4 x^{2} = 25 \to x^{2} = \frac{25}{4} \to x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}} = \pm \frac{5}{2}$

$4 x^{2} + 25 = 0 \to 4 x^{2} = - 25 \to x^{2} = - \frac{25}{4} \to x = \pm \sqrt{- \frac{25}{4}} N o t é s o l u c i ó$

- Cas $c = 0$

$a x^{2} + b x = 0$

$x (a x + b) = 0 \to \{\begin{cases} x = 0 \\ a x + b = 0 \to a x = - b \to x = - \frac{b}{a} \end{cases}$

Exemples

$3 x^{2} + 5 x = 0 \to x (3 x + 5) = 0 \to \{\begin{cases} x = 0 \\ 3 x + 5 = 0 \to 3 x = - 5 \to x = - \frac{5}{3} \end{cases}$

$x^{2} - 5 x = 0 \to x (x - 5) = 0 \to \{\begin{cases} x = 0 \\ x - 5 = 0 \to x = 5 \end{cases}$

7. Sistemes 2 equacions, 2 incògnites

Substitució

a. Aïllar una incògnita d'una de les equacions

b. Substituir aquesta incògnita en l'altre equació. Obtindrem una equació amb una incògnita

c. Resoldre aquesta equació. Obtindrem el valor d'una incògnita.

d. Substituir aquest valor per obtenir el valor de l'altre incògnita

Exemple

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta y negreta igual negreta 3 fi cel·la fila cel·la negreta 3 negreta x negreta més negreta 2 negreta y negreta igual negreta 1 fi cel·la fi taula tanca claus taula fila cel·la fletxa dreta espai espai y igual 3 menys 2 x espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la espai espai espai 3 x més 2 per parèntesi esquerre 3 menys 2 x parèntesi dret igual 1 fi cel·la fi taula espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 x més 6 menys 4 x igual 1 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai menys x igual menys 5 espai espai fletxa dreta espai negreta espai bold italic x negreta igual negreta 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai negreta espai bold italic y igual 3 menys 2 x igual 3 menys 2 per 5 igual 3 menys 10 negreta igual negreta menys negreta 7 negreta espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

Reducció

a. Combinar les dues equacions per obtenir una equació amb una incògnita.

b. Resoldre aquesta equació. Obtindrem el valor d'una incògnita.

c. Substituir aquest valor en una de les equacions per obtenir el valor de l'altre incògnita

Exemple

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta y negreta igual negreta 3 fi cel·la fila cel·la negreta 3 negreta x negreta més negreta 2 negreta y negreta igual negreta 1 fi cel·la fi taula tanca claus taula fila cel·la fletxa dreta espai espai menys 4 x ratllat diagonal cap amunt menys 2 y fi ratllat igual menys 6 espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la espai espai 3 x ratllat diagonal cap amunt més 2 y fi ratllat igual 1 espai espai fi cel·la fi taula espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai pila menys x espai espai espai espai espai espai espai espai espai igual espai menys 5 espai amb barra a sobre espai espai espai fletxa dreta espai espai x igual 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 2 normal x més normal y igual 3 espai negreta espai negreta fletxa dreta espai espai negreta espai bold italic y igual 3 menys 2 x igual 3 menys 2 per 5 igual 3 menys 10 negreta igual negreta menys negreta 7 negreta espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

Igualació

a. Aïllar una mateixa incògnita de les dues equacions

b. Igualar les dues expressions. Obtindrem una equació amb una incògnita

c. Resoldre aquesta equació. Obtindrem el valor d'una incògnita.

d. Substituir aquest valor per obtenir el valor de l'altre incògnita

Exemple

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la negreta 2 negreta x negreta més negreta y negreta igual negreta 3 fi cel·la fila cel·la negreta 3 negreta x negreta més negreta 2 negreta y negreta igual negreta 1 fi cel·la fi taula tanca claus taula fila cel·la espai espai fletxa dreta espai espai y igual 3 menys 2 x espai espai espai espai espai espai espai fi cel·la fila cel·la fletxa dreta espai espai y igual fracció numerador 1 menys 3 x entre denominador 2 fi fracció espai espai fi cel·la fi taula espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 3 menys 2 x igual fracció numerador 1 menys 3 x entre denominador 2 fi fracció espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai 6 menys 4 x igual 1 menys 3 x espai espai espai fletxa dreta espai menys x igual menys 5 espai espai fletxa dreta espai negreta espai bold italic x negreta igual negreta 5 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai negreta espai bold italic y igual 3 menys 2 x igual 3 menys 2 per 5 igual 3 menys 10 negreta igual negreta menys negreta 7 negreta espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai$

8. Errors freqüents

Errors operacions (indicats en vermell, corregits en blau)

Incorrecte Correcte

$2 per 0 igual negreta 2 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai 2 per 0 igual negreta 0 2 més 3 per 6 igual negreta 5 negreta per negreta 6 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai 2 més 3 per 6 igual negreta 2 negreta més negreta 18 negreta igual negreta 20 x menys parèntesi esquerre 3 x més 5 parèntesi dret igual x menys 3 x negreta més 5 espai espai espai espai fletxa dreta espai espai x menys parèntesi esquerre 3 x més 5 parèntesi dret igual x menys 3 x negreta menys 5 1 menys fracció numerador x menys 5 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 2 menys x negreta menys 5 espai entre denominador 2 fi fracció espai espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai 1 menys fracció numerador x menys 5 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador 2 menys x negreta més 5 entre denominador 2 fi fracció$

$parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret al quadrat igual bold italic x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 9 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai fletxa dreta negreta espai espai parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret al quadrat igual bold italic x elevat a negreta 2 negreta menys negreta 6 bold italic x negreta més negreta 9$

$parèntesi esquerre 5 menys 3 parèntesi dret al quadrat igual negreta 5 elevat a negreta 2 negreta menys negreta 3 elevat a negreta 2 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai fletxa dreta negreta espai negreta espai negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta 5 negreta menys negreta 3 negreta parèntesi dret elevat a negreta 2 negreta igual negreta 2 elevat a negreta 2 negreta igual negreta 4 negreta espai negreta espai$

Observació: no cal fer $estil mida 14px text (5-3 fi text text ) fi text al quadrat igual 5 al quadrat menys 2 per 5 per 3 més 9 igual 25 menys 30 més 9 igual 4 fi estil$

$arrel quadrada de x al quadrat menys 9 fi arrel negreta igual bold italic x negreta menys negreta 3$ No es pot fer cap simplificació

$fracció 3 entre 0 igual negreta 0 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai fletxa dreta espai espai espai fracció 3 entre 0 espai no espai és espai un espai nombre coma espai espai fracció 3 entre 0 igual negreta infinit$

$2 negreta per negreta menys negreta 3 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai espai negreta 2 negreta per negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 3 negreta parèntesi dret espai espai espai o espai espai espai negreta 2 negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 3 negreta parèntesi dret$

$menys 2 negreta per negreta menys negreta 3 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai espai espai menys negreta 2 negreta per negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 3 negreta parèntesi dret espai espai espai o espai espai espai menys negreta 2 negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 3 negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai o negreta espai negreta espai negreta espai negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 2 negreta parèntesi dret negreta per negreta parèntesi esquerre negreta menys negreta 3 negreta parèntesi dret negreta espai negreta espai$

$2 per 3 al quadrat igual negreta 6 elevat a negreta 2 negreta igual negreta 36 espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai espai fletxa dreta espai espai 2 per 3 al quadrat igual negreta 2 negreta per negreta 9 negreta igual negreta 18$

$2 per parèntesi esquerre x menys 3 parèntesi dret al quadrat igual negreta parèntesi esquerre negreta 2 bold italic x negreta menys negreta 6 negreta parèntesi dret elevat a negreta 2 negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai fletxa dreta negreta espai 2 per parèntesi esquerre x al quadrat menys 6 x més 9 parèntesi dret igual 2 x al quadrat menys 12 x més 19 espai$

Errors en equacions:

$obre claudàtors menys 2 x igual 4 espai espai fletxa doble dreta espai x igual fracció negreta 4 entre negreta 2 negreta igual negreta 2 tanca claudàtors espai espai fletxa dreta espai obre claudàtors menys 2 x igual 4 espai espai fletxa doble dreta espai x igual fracció numerador negreta 4 entre denominador negreta menys negreta 2 fi fracció negreta igual negreta menys negreta 2 tanca claudàtors espai espai espai o espai espai espai obre claudàtors menys 2 x igual 4 espai espai fletxa doble dreta negreta espai negreta 2 bold italic x negreta igual negreta menys negreta 4 negreta espai negreta espai negreta fletxa doble dreta bold italic x negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 4 entre denominador negreta 2 fi fracció negreta igual negreta menys negreta 2 tanca claudàtors espai espai espai espai espai espai espai$ $espai espai espai espai espai espai espai$

$obre claudàtors menys 3 x igual menys 4 espai espai fletxa doble dreta espai bold italic x negreta igual negreta menys fracció negreta 4 entre negreta 3 negreta espai espai tanca claudàtors espai espai espai fletxa dreta espai espai obre claudàtors menys 3 x igual menys 4 espai espai fletxa doble dreta negreta espai bold italic x negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 4 entre denominador negreta menys negreta 3 fi fracció negreta igual fracció negreta 4 entre negreta 3 negreta espai espai tanca claudàtors espai espai espai o espai espai espai espai obre claudàtors menys 3 x igual menys 4 espai espai fletxa doble dreta negreta espai negreta 3 bold italic x negreta igual negreta 4 negreta espai negreta espai negreta espai negreta fletxa doble dreta bold italic x negreta igual fracció negreta 4 entre negreta 3 negreta espai espai tanca claudàtors espai espai espai$

$obre claudàtors fracció numerador x menys 1 entre denominador x més 2 fi fracció igual 0 espai espai fletxa doble dreta espai bold italic x negreta més negreta 2 negreta igual negreta 0 tanca claudàtors espai espai espai fletxa dreta espai espai obre claudàtors fracció numerador x menys 1 entre denominador x més 2 fi fracció igual 0 espai espai fletxa doble dreta espai bold italic x negreta menys negreta 1 negreta igual negreta 0 negreta espai negreta espai negreta fletxa doble dreta bold italic x negreta igual negreta 1 tanca claudàtors espai espai$

$obre claudàtors fracció numerador x menys 1 entre denominador x més 2 fi fracció igual 0 espai espai fletxa doble dreta espai bold italic x negreta menys negreta 1 negreta igual bold italic x negreta més negreta 2 tanca claudàtors espai espai espai fletxa dreta espai espai obre claudàtors fracció numerador x menys 1 entre denominador x més 2 fi fracció igual 0 espai espai fletxa doble dreta espai bold italic x negreta menys negreta 1 negreta igual negreta 0 negreta espai negreta espai negreta fletxa doble dreta bold italic x negreta igual negreta 1 tanca claudàtors espai$