Resum Sistemes d'equacions

11. Matriu inversa

Calculem la inversa de la matriu

$bold italic A negrita igual abrir paréntesis tabla fila negrita 2 celda negrita menos negrita 1 fin celda fila negrita 1 negrita 3 fin tabla cerrar paréntesis$

Ho fem de 3 maneres diferents.

(Per matrius 3x3 seria similar però quedarà una mica més llarg d'operacions)

- Utilitzant el determinant i els adjunts de la transposada.

Calcular la inversa de $A igual abrir paréntesis tabla fila 2 celda menos 1 fin celda fila 1 3 fin tabla cerrar paréntesis$

Calculem el determinant $abrir barra vertical A cerrar barra vertical igual 2 por 3 menos 1 por paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho igual 6 más 1 igual 7$

Considerem la transposada de la matriu A: $A elevado a t igual abrir paréntesis tabla fila 2 1 fila celda menos 1 fin celda 3 fin tabla cerrar paréntesis$

i la matriu d'adjunts de $A elevado a t$ :

$abrir paréntesis tabla fila 3 celda menos paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho fin celda fila celda menos 1 fin celda 2 fin tabla cerrar paréntesis$

Per tant:

$A elevado a menos 1 fin elevado igual fracción 1 entre 7 abrir paréntesis tabla fila 3 1 fila celda menos 1 fin celda 2 fin tabla cerrar paréntesis$

· Plantejant un sistema d'equacions:

Calcular la inversa de $A igual abrir paréntesis tabla fila 2 celda menos 1 fin celda fila 1 3 fin tabla cerrar paréntesis$

Volem una matriu X tal que $A por X igual I$

És a dir:

$abrir paréntesis tabla fila 2 celda menos 1 fin celda fila 1 3 fin tabla cerrar paréntesis por abrir paréntesis tabla fila a b fila c d fin tabla cerrar paréntesis igual abrir paréntesis tabla fila 1 0 fila 0 1 fin tabla cerrar paréntesis$

$abrir paréntesis tabla fila celda 2 a menos c fin celda celda 2 b menos d fin celda fila celda a más 3 c fin celda celda b más 3 d fin celda fin tabla cerrar paréntesis igual abrir paréntesis tabla fila 1 0 fila 0 1 fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio espacio espacio espacio abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda 2 a menos c igual 1 fin celda fila celda a más 3 c igual 0 fin celda fin tabla cerrar llaves espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda 6 a menos 3 c igual 3 fin celda fila celda a más 3 c igual 0 fin celda fin tabla cerrar llaves espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio 7 a igual 3 espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio a igual fracción 3 entre 7 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 3 c igual menos a igual menos fracción 3 entre 7 espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio c igual menos fracción numerador 3 entre denominador 3 por 7 fin fracción igual menos fracción 1 entre 7$

$abrir paréntesis tabla fila celda 2 a menos c fin celda celda 2 b menos d fin celda fila celda a más 3 c fin celda celda b más 3 d fin celda fin tabla cerrar paréntesis igual abrir paréntesis tabla fila 1 0 fila 0 1 fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio espacio espacio espacio abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda 2 b menos d igual 0 fin celda fila celda b más 3 d igual 1 fin celda fin tabla cerrar llaves espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio abrir tabla atributos alineación columna right fin atributos fila celda 6 b menos 3 d igual 0 fin celda fila celda b más 3 d igual 1 fin celda fin tabla cerrar llaves espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio 7 b igual 1 espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio b igual fracción 1 entre 7 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 3 d igual 1 menos b igual 1 menos fracción 1 entre 7 espacio igual fracción 6 entre 7 espacio flecha doble derecha espacio espacio d igual fracción numerador 6 entre denominador 3 por 7 fin fracción igual fracción 2 entre 7$

Per tant:

$A elevado a menos 1 fin elevado igual fracción 1 entre 7 abrir paréntesis tabla fila 3 1 fila celda menos 1 fin celda 2 fin tabla cerrar paréntesis$

· Pel mètode de Gauss-Jordan

Calcular la inversa de $A igual abrir paréntesis tabla fila 2 celda menos 1 fin celda fila 1 3 fin tabla cerrar paréntesis$

De fet és el mateix que hem fet a dalt però ho expressem en forma matricial.

Es tracta de plantejar la matriu ampliada formada per la matriu i la matriu identitat. És a dir:

Hem de fer transformacions elementals fins que en la part esquerra ens quedi la matriu identitat: $abrir paréntesis tabla fila 1 0 fila 0 1 fin tabla cerrar paréntesis$

$abrir paréntesis tabla fila celda tabla fila 2 celda menos 1 fin celda fila 1 3 fin tabla fin celda celda envoltorio por la izquierda espacio tabla fila 1 0 fila 0 1 fin tabla fin envoltorio fin celda fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio flecha derecha espacio espacio abrir paréntesis tabla fila celda tabla fila 2 celda menos 1 fin celda fila 0 celda menos 7 fin celda fin tabla fin celda celda envoltorio por la izquierda espacio tabla fila 1 0 fila 1 celda menos 2 fin celda fin tabla fin envoltorio fin celda fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio flecha derecha espacio espacio abrir paréntesis tabla fila celda tabla fila celda menos 14 fin celda 0 fila 0 celda menos 7 fin celda fin tabla fin celda celda envoltorio por la izquierda espacio tabla fila celda menos 6 fin celda celda menos 2 fin celda fila 1 celda menos 2 fin celda fin tabla fin envoltorio fin celda fin tabla cerrar paréntesis espacio espacio flecha derecha espacio espacio abrir paréntesis tabla fila celda tabla fila 1 0 fila 0 1 fin tabla fin celda celda envoltorio por la izquierda espacio tabla fila celda 3 dividido por 7 fin celda celda 1 dividido por 7 fin celda fila celda menos 1 dividido por 7 fin celda celda 2 dividido por 7 fin celda fin tabla fin envoltorio fin celda fin tabla cerrar paréntesis$

Per tant:

$A elevado a menos 1 fin elevado igual fracción 1 entre 7 abrir paréntesis tabla fila 3 1 fila celda menos 1 fin celda 2 fin tabla cerrar paréntesis$