Resum conceptes bàsics del Lliurament 1

ASÍMPTOTES. Concepte

Les asímptotes d'una funció són rectes a les que s'aproxima la funció en l'infinit.

Hi ha de tres tipus: Horitzontals, verticals i obliqües. No totes les funcions tenen asímptotes.

En les gràfiques següents es veuen algunes funcions i les asímptotes, si en tenen.

Aquesta funció no té cap asímptota

Aquesta funció té una asímptota vertical en x=2.

$\small {\lim} \limits_{x\to {2}^-} f(x)=+ \infty$

$\small {\lim} \limits_{x\to {2}^+} f(x)=+ \infty$ i $f(2)$ no existeix

Aquesta funció té una asímptota obliqua

Aquesta funció té una asímptota horitzontal i es compleix que:

$\small {\lim} \limits_{x\to {+ \infty}} f(x) =2$

Procediment per estudiar les asímptotes d'una funció

- - - Si la funció és polinòmica no té asímptotes.
    - Asímptotes horitzontals es troben calculant :

$\small {\lim} \limits_{x\to {+ \infty}} f(x) =a$

$\small {\lim} \limits_{x\to {- \infty}} f(x)=b$

Han de donar valors reals ( no infinits). Llavors direm que en la recta horitzontal $y=a$ i $y=b$ hi ha asímptota horitzontal.

- - - Asímptotes verticals.

Primer cal trobar el domini de la funció. Els punts obtinguts (x ₀ ,...) que no siguin del domini són punts en els que cal estudiar els límits laterals i on es poden detectar asímptotes

Aquests límits laterals han de donar infinit. Si és així correspondran a asímptotes verticals:

$\small {\lim} \limits_{x\to {x_0}^-} f(x) = \infty$

$\small {\lim} \limits_{x\to {x _0}^+} f(x)= \infty$

Si es compleix això direm que en $x=x_0$ hi ha una asímptota vertical

Asímptotes obliqües:

1.- Fer el $límit quan x fletxa dreta infinit de fracció numerador f parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador x fi fracció$ aleshores :
- Si dóna ∞ aleshores no hi ha A.O. En aquest cas ja no cal seguir
- Si dóna 0 vol dir que és una recta horitzontal (pendent 0) i per tant ja hauria sortit al buscar asímptotes horitzontals. En aquest cas ja no cal seguir
- En qualsevol altre cas dóna un nombre real. Aquest nombre serà la pendent de l'A.O i l'anomenarem $m igual espai pila lim espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota fracció numerador f parèntesi esquerre x parèntesi dret entre denominador x fi fracció$
2.- Fer el $pila lim espai espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret menys m x$ aleshores :
- Si dóna ∞ aleshores no hi ha A.O. En aquest cas ja no cal seguir
- En qualsevol altre cas dóna un nombre real. Aquest nombre serà l'ordenada a l'origen de l'A.O i l'anomenarem $b igual espai pila lim espai espai espai amb x fletxa dreta infinit a sota f parèntesi esquerre x parèntesi dret menys m x$
3.- Un cop hem trobat m i b l'asímptota obliqua serà la recta que té per equació $envoltori caixa y igual m x més b fi envoltori$