LL3_Sistemes d'equacions II

3. Solucions d'un sistema compatible indeterminat

Discussió i resolució de sistema compatible indeterminat.

Exemple 1

$obre taula atributs alineació columna right fin atributs fila cel·la x més 2 y menys z igual 3 fi cel·la fila cel·la menys x més 3 y més 4 z igual menys 1 fi cel·la fila cel·la 2 x menys y menys 5 z igual 4 fi cel·la fi taula tanca claus fletxa doble dreta espai espai obre parèntesis taula fila 1 2 cel·la menys 1 fi cel·la 3 fila cel·la menys 1 fi cel·la 3 4 cel·la menys 1 fi cel·la fila 2 cel·la menys 1 fi cel·la cel·la menys 5 fi cel·la 4 fi taula tanca parèntesis$

Mètode de Gauss. Esglaonem:

$espai espai obre parèntesis taula fila 1 2 cel·la menys 1 fi cel·la 3 fila cel·la menys 1 fi cel·la 3 4 cel·la menys 1 fi cel·la fila 2 cel·la menys 1 fi cel·la cel·la menys 5 fi cel·la 4 fi taula tanca parèntesis espai espai espai fletxa dreta espai espai taula fila blank fila cel·la f subíndex 2 més f subíndex 1 fi cel·la fila cel·la f subíndex 3 menys 2 f subíndex 1 fi cel·la fi taula espai obre parèntesis taula fila 1 2 cel·la menys 1 fi cel·la 3 fila 0 5 3 2 fila 0 cel·la menys 5 fi cel·la cel·la menys 3 fi cel·la cel·la menys 2 fi cel·la fi taula tanca parèntesis espai espai fletxa dreta espai taula fila blank fila blank fila cel·la f subíndex 3 més f subíndex 2 fi cel·la fi taula espai obre parèntesis taula fila 1 2 cel·la menys 1 fi cel·la 3 fila 0 5 3 2 fila 0 0 0 0 fi taula tanca parèntesis$

Discussió (classificació):

(Teorema Rouché-Fröbenius)

rang matriu coeficients = rang matriu ampliada = 2 => compatible

rang = 2 < nombre d'incògnites = 3 => compatible indeterminat

les infinites solucions es poden expressar en funció d'1 paràmetre (ja que la diferència entre el nombre d'incògnites i el rang és 1)

Solució:

Començant per la 2a equació:

$5 y més 3 z igual 2$

agafarem z com el paràmetre λ z= λ

$5 y més 3 lambda igual 2 5 y igual 2 menys 3 lambda espai espai espai espai negreta espai bold italic y negreta igual fracció negreta 2 entre negreta 5 negreta menys fracció negreta 3 entre negreta 5 bold italic lambda$

substituint en la 1a equació $estil mida 14px x més 2 y menys z igual 3 fi estil$ tenim:

$x més 2 obre parèntesis fracció 2 entre 5 menys fracció numerador 3 lambda entre denominador 5 fi fracció tanca parèntesis menys lambda igual 3 x més fracció 4 entre 5 menys fracció numerador 6 lambda entre denominador 5 fi fracció menys lambda igual 3 x igual 3 menys fracció 4 entre 5 més fracció numerador 6 lambda entre denominador 5 fi fracció més lambda espai espai espai espai bold italic x negreta igual fracció negreta 11 entre negreta 5 negreta més fracció negreta 11 entre negreta 5 bold italic lambda$

Per tant les solucions són

$obre claus taula fila cel·la negreta x negreta igual fracció negreta 11 entre negreta 5 negreta més fracció negreta 11 entre negreta 5 negreta lambda negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai fi cel·la fila cel·la negreta y negreta igual fracció negreta 2 entre negreta 5 negreta menys fracció negreta 3 entre negreta 5 negreta lambda negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai fi cel·la fila cel·la negreta z negreta igual negreta lambda negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai negreta espai fi cel·la fi taula tanca espai espai espai espai per tot normal lambda pertany IR$

( $per tot lambda pertany normal nombres reals$ es llegeix "per a tot $lambda$ pertanyent als reals", vol dir simplement que $lambda$ pot ser qualsevol nombre real)

Vídeo

En aquest vídeo podeu veure la resolució d'aquest mateix exercici: