R2.1. Nombres grans i nombres petits

La massa de la terra és d'uns 5.973.600.000.000.000.000.000.000 kg.

La càrrega de l’electró és de 0,0000000000000000001602 Coulombs.

Com aquestes, existeixen moltes altres quantitats que, perquè són molt grans o molt petites, a l'hora d'escriure-les cal posar moltes xifres, bàsicament zeros.

Si fem ús de potències de 10, simplificarem l'escriptura d'aquestes quantitats.

Així, com 10ⁿ és un 1 seguit de n zeros podem expressar la primera quantitat com: 5,9736 x10²⁴ kg. (deixarem sempre una sola xifra entera i la resta en format decimal).

Per altra banda, com $10^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0,0...01$ amb l'1 en la posició decimal n (consulta la pàgina de Potències d'exponent enter en aquest mateix llibre), podem expressar la segona quantitat com: 1,602 x10^-19C.

D'aquesta forma d'escriure quantitats molt grans o molt petites en diem notació científica. Recordem que en aquesta notació acostumem a deixar una sola xifra entera i la resta de xifres significatives que hi hagi les posarem com a decimals.

La notació científica d'un nombre també la podem escriure en aquest altre format: 5,9736 x10²⁴ = 5,9736E24.

Podem veure el següent vídeo sobre les diferents escales de l'univers. A la part dreta a baix veurem, en notació científica, l'ordre de magnitud representat:

Imatge de la Terra de WikiImages a Pixabay

Vídeo del canal Fortune-Gamers

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A2.1. Exemples notació científica.

Decimal→Científica

La massa de la terra és d'uns 5.973.600.000.000.000.000.000.000 kg.

Cal comptar quan llocs cal desplaçar la coma decimal (que ara està darrere l'últim zero més a la dreta) cap a l'esquerra fins a situar-la just darrere de la primera xifra. En aquest cas, són 24 llocs, per tant, afegirem 10²⁴. Llavors, 5,9736 x10 ²⁴kg.

La càrrega de l’electró és de 0,0000000000000000001602 C.

Com abans, però ara cal desplaçar la coma decimal cap a la dreta fins darrere la primera xifra significativa. Això són 19 llocs decimals. És equivalent a dividir per 10¹⁹ o multiplicar per 10^-19 (consulta aquesta pàgina posterior del llibre). Per tant, 1,602 x10^-19 C.

Científica→Decimal

La massa de la terra és d'uns 5,9736 x10²⁴ kg.

Al contrari del que hem fet abans cal desplaçar la coma decimal 24 llocs a la dreta afegint els zeros que siguin necessaris. Llavors, 5.973.600.000.000.000.000.000.000 kg.

La càrrega de l’electró és d'1,602 x10^-19C.

També, al revés que abans, mourem la coma a l'esquerra 19 llocs decimals afegint zeros si cal. Per tant, 0,0000000000000000001602 C.

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A2.2. Convertir entre forma decimal i notació científica.

A l'hora de comparar dues quantitats expressades en aquesta notació cal anar amb compte i tenir ben presents els possibles ordres de magnitud diferents segons la potència de 10.

Així, 7,53·10²⁵ és més petit que 4,38·10²⁷ donat que la potència de 10 del primer és menor.

Per sumar o restar cal que els operands tinguin la mateixa potència de 10 per poder treure-la factor comú. Llavors, sumarem o restarem els dos nombres decimals. Ajustem el resultat perquè només tingui una xifra entera si és necessari.

Exemple: 5,671·10⁹ + 2,814·10⁸ = 56,71·10⁸ + 2,814·10⁸ = 59,525·10⁸ = 5,9524·10⁹.

Tenint present el comentari fer en l'apartat de comparació si sumem o restem quantitats d'ordres de magnitud molt diferents pot ser que la menor sigui menyspreable davant la major. Per exemple:

4,38·10³⁷ + 8,54·10⁹ = 4,38·10³⁷, donat que hi ha una diferència de 28 ordres de magnitud.

Per multiplicar multipliquem els nombres i sumem les potències de 10. Ajustem el resultat perquè només tingui una xifra entera si és necessari. Així:

5,671·10⁹ × 2,814·10⁸ = 15,958194 · 10¹⁷ = 1,5958194·10¹⁸.

Dividim de forma similar a la multiplicació però dividint els nombres i restant els exponents:

5,671·10⁹ : 2,814·10⁸ = 20,15280739.

En aquest cas no és necessari convertir el nombre a notació científica.

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A2.3. Operacions en notació científica.

Una potència és una repetició de multiplicacions. Així, si tenim 3⁵ vol dir que hem de multiplicar 3 per si mateix 5 cops: 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243. Al 3 l'anomenem base i al 5 exponent.

Propietats de les potències.

1. Producte de potències de la mateixa base: aⁿ · a^m = a^n+m (sumem els exponents).
2. Potència d'un producte: (a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ (posem la potència a cada factor).
3. Divisió de potències de la mateixa base: $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ (restem els exponents).
4. Potència d'una potència: $(a^n)^m=a^{(n·m) }$ (multipliquem els exponents).
5. Potència d'una fracció: $\left( \dfrac{a}{b} \right) ^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ (potència a numerador i denominador).

Qualsevol altra expressió no es pot reduir o fer ús de les propietats i només la podem calcular. Per exemple, la potència d'una suma o una resta: 2³ + 5² = 8 + 25 = 33.

Si en la propietat 3 anterior tenim n < m, tindrem un exponent negatiu.

Per exemple:

$\dfrac{a^2}{a^5} = \dfrac{a·a}{a·a·a·a·a} = \dfrac{1}{a^3} = a^{2-5} = a^{-3}$.

Per tant, podem tenir exponents negatius i el seu sentit és: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

De forma semblant, si en la propietat 3 anterior fem n=m, trobarem: $a^{0} = 1$.

Si tenim una potència negativa d'una fracció: $\left( \dfrac{a}{b} \right) ^{-n} = \dfrac{a^{-n}}{b^{-n}} = \dfrac{b^{n}}{a^{n}} = \left( \dfrac{b}{a} \right) ^{n}$. Per tant, és equivalent a invertir la fracció amb la potència positiva.

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A2.4. Exercicis amb potències.

Hi ha situacions en les quals no cal donar el valor exacte d'una quantitat ja sigui perquè no la coneixem exactament, o bé, perquè no cal donar totes les xifres amb què la sabem.

En aquestes situacions el que fem és donar un valor aproximat al real. Si no la coneixem de forma precisa en fem una estimació i si no cal donar totes les xifres conegudes, en fem una aproximació com hem vist en el tema anterior.

Parlem de xifres significatives d'una quantitat com aquelles que tenen significat per expressar la quantitat. Els zeros no són xifres significatives. Veiem alguns exemples:

5,7 kg → dues xifres significatives.

5.700 gr → dues xifres significatives.

5,7·10³ gr → dues xifres significatives.

5.742 gr → quatre xifres significatives.

Bàsicament, l'ordre de magnitud d'una quantitat és la potència de 10 que multiplica a les seves xifres significatives.

Direm que dues quantitats difereixen en, per exemple dos ordres de magnitud, quan una és 100 vegades més gran que l'altra.

Així, 5·10⁸ és dos ordres de magnitud més gran que 9·10⁶.

En aquest sentit és interessant conèixer els prefixos que posem davant de les unitats per expressar quantitats més grans o més petites (per exemple, quilo = 10³). Els podem trobar en aquesta pàgina de la Vikipèdia.

Imatge de 84user obtinguda de Wikimedia

La notació científica en la calculadora la treballem amb la tecla o segons el model. Per introduir un nombre primer escrivim el nombre, després premem la tecla anterior i posem l'exponent de 10. No cal escriure en cap moment el producte ni el nombre 10, la calculadora ja els sobreentén en fer ús de la tecla anterior.

Per calcular potències amb la calculadora farem ús de la tecla per fer quadrats o cubs.

Si la potència és superior, farem ús de o segons els models.