R3.1. Successions numèriques

Una Progressió Aritmètica (PA) és una successió en què cada terme s'obté a partir de l'anterior sumant-li una quantitat fixa anomenada diferència (d).

Exemples, seguint de la pàgina anterior:

• a_n = {2, 5, 8, 11, 14...}
• d_n = {10, 4, -2, -8, -14...}

De cadascuna d'elles els valors més importants són el primer terme i la diferència:

a₁=2 i d=3

d₁=10 i d=-6.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Per calcular el terme 10 d'una PA a partir del primer terme cal afegir 9 cops la diferència. Si volem calcular el terme 20, caldrà afegir 19 cops la d. En general, si hem de calcular el terme n, haurem d'afegir (n-1) cops la d a l'a₁.

D'aquesta forma podem veure que la fórmula per al terme general d'una PA és:

a_n = a₁ + d·(n-1)

Amb els exemples anteriors:

a_n = 2 + 3·(n-1) = 2+3·n-3 = 3n - 1 (com havíem vist en la pàgina anterior).

d_n = 10 - 6·(n-1) = 10 -6·n + 6 = -6n + 16.

Ens interessa sumar uns quants termes (no pocs) d'una PA. No ho farem sumant-los directament sinó que provarem de deduir una expressió que m'ho permeti calcular ràpidament.

Suposem que volem sumar aquests 5 termes només d'aquesta PA: a_n = {2, 4, 6, 8, 10}.

O sigui, volem:          Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + 10

Ho escrivim al revés: Sn = 10 + 8 + 6 + 4 + 2

Ara sumem parelles verticalment i veiem que totes donen el mateix: 2+10=12; 4+8=12; 6+6=12.

Per tant, si sumem les dues expressions, tindrem:

2·Sn = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 12 · 5, o equivalentment: 2·Sn = (2+10)·5. Si aïllem la suma: $S_n = \dfrac{\left(2+10\right)·5}{2}$.

Ens fixem que el 2 del numerador és el primer terme, 10 és l'últim terme i 5 el nombre de termes sumats. Per tant, l'expressió general serà:

$S_n = \dfrac{\left(a_1+a_n\right)·n}{2}$

Exemples. Sumem els 100 primers termes de les PA anteriors (primer cal calcular el terme a₁₀₀):

 a_n → a₁₀₀ = 3·100-1=299 → $S_{100} = \dfrac{\left(2+299\right)·100}{2}=15.050$

 d_n → d₁₀₀ = -6·100+16=-584 → $S_{100} = \dfrac{\left(10-584\right)·100}{2}=-28.700$

En aquest vídeo es representa la història sobre com Carl F. Gauss, sent un nen, va descobrir com sumar una PA:

Fragment de la pel·lícula "Midiendo el mundo" de Detlev Buck

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A3.3. Exercicis Progressions Aritmètiques.