R3.1. Successions numèriques

Una Progressió Geomètrica (PG) és una successió en què cada terme s'obté a partir de l'anterior multiplicant-lo per una quantitat fixa anomenada raó (r).

Exemples, seguint de la pàgina primera:

• b_n = {3, 6, 12, 24, 48...}
• c_n = {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...}

De cadascuna d'elles els valors més importants, també, són el primer terme i la raó:

b₁=3 i r=2,

c₁=1 i r=1/2.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Per calcular el terme 10 d'una PG a partir del primer terme cal multiplicar aquest terme 9 cops per la diferència. Raonant de forma similar, si hem de calcular el terme n, haurem de multiplicar a₁ (n-1) cops per r.

Per tant, la fórmula per al terme general d'una PG és:

a_n = a₁ · r^n-1

Amb els exemples anteriors:

b_n = 3 · 2^n-1 (recordem que no podem multiplicar 3·2 perquè els exponents són diferents).

$c_n=1· \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{n-1} = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{n-1}$.

Volem deduir una expressió per calcular la suma d'uns quants termes d'una PG. Anem a fer uns quants passos per trobar-la.

La suma que volem trobar és:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ +...+_an-1 + a_n

Si multipliquem els dos membres de l'expressió per la raó:

S_n ·r = a₁·r + a₂·r+ a₃·r + a₄·r + a₅·r +...+_an-1·r + a_n·r

Restem, ara, les dues expressions. Podrem simplificar molts factors donat que a₂ = a₁ ·r i, així, successivament:

S_n - S_n·r = a₁ - a_n·r

Aïllant S_n trobem l'expressió final:

$S_n = \dfrac{a_1-a_n·r}{1-r}$

O, com a_n = a₁·r^n-1 poden posar (aïllant a₁):

$S_n = \dfrac{a_1\left(1-r^n\right)}{1-r}$

Exemples, calculem la suma dels 10 primers termes en les successions anteriors:

b_n → $S_{10} = \dfrac{3\left(1-2^{10}\right)}{1-2} = \frac{3·(-1023)}{-1} = 3.069$

c_n → $S_{10} = \dfrac{1\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1-\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\left(\frac{1023}{1024}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)} = \dfrac{1023}{512}= 1,998046875.$

En el cas de la PG c_n anterior els termes són cada cop més petits, més propers a zero. En aquest cas (de fet sempre que la raó verifica que -1<r<1) podem sumar tots els infinits termes de la PG.

A partir de l'expressió de la suma deduïda abans, com la raó és més petita que 1 el factor rⁿ serà pràcticament zero (zero si prenem els infinits termes) i, per tant, tenim la següent expressió per sumar els infinits termes:

$S_ \infty = \dfrac{a_1}{1-r}, \quad amb -1$

Exemple c_n anterior:

 c_n → $S_ \infty = \dfrac{1}{1-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$.

Gràficament podem imaginar aquesta suma com sumar les àrees de rectangles cada cop més petits i cada rectangle que sigui la meitat de l'anterior com es mostra en aquest dibuix. El primer rectangle és c₁ i la seva àrea és 1 (les unitats que corresponguin), el segon rectangle la meitat i així els següents.

Al final, si posem els infinits rectangles, haurem omplert un rectangle gran d'àrea 2.

Imatge de Jaume Bartolí Guillemat sota llicència CC BY-NC-SA 3.0

Activitat Sobre aquests continguts podeu fer l'activitat A3.4. Exercicis Progressions Geomètriques.