R3.1. Successions numèriques

En dipositar uns diners al banc, aquest ens dóna uns guanys o interessos. Així, per exemple, si posem un capital (C) en un compte bancari durant un nombre d'anys (t) el banc dóna un rèdit (r) expressat en percentatge. Llavors, el primer any obtindrem uns interessos (I) que seran $\dfrac{C·r}{100}$ . Com que els interessos no són productius, és a dir, no s'acumulen al capital, al segon any obtindrem els mateixos interessos, i igual la resta d'anys. Per tant, l'interès total obtingut el podem trobar amb l'expressió:

$I=\dfrac{C·r·t}{100}$.

Exemple: trobar quin interès obtenim dipositant un capital C=2.000 € durant cinc anys en un compte bancari que ens dóna un rèdit del 3%.

$I=\dfrac{C·r·t}{100}=\dfrac{2000·3·5}{100}=300 €$

Quina relació té l'interès simple amb les successions? L'interès simple és una PA. Podem considerar que el primer terme és el capital inicial, al qual afegim l'interès que guanyem cada any. Així, en l'exemple anterior, cada any el guany és $d=I_1=\dfrac{2000·3·1}{100}=60 €$. Aquesta és la diferència de la PA. Llavors, la PA de capitals anuals és:

C_n = {2.000, 2.060, 2.120, 2.180, 2.240, 2.300, 2.360, 2.420...} → $C_n=2000 +\dfrac{C·r}{100}·(n-1)$ (Compte que ara aquí n no és exactament el nombre d'anys sinó el lloc en la PA).

Imatge extreta de Piqsels amb llicència lliure per a ús personal i comercial.

A diferència de l'interès simple en l'interès compost els guanys o interessos sí que s'acumulen al capital i, per tant, són part d'aquest i productius per al següent any. D'aquesta forma si seguim l'exemple anterior al llarg dels 5 anys però ara amb interès compost tindrem (arrodonint en cada cas als cèntims):

Exemple interès compost

t (any)	Capital inicial	Interessos	Capital final
1	2.000 €	60 €	2.060 €
2	2.060	61,8	2.121,8 €
3	2.121,8	63,65	2.185,45 €
4	2.185,45	65,56	2.251,10 €
5	2.251,10	67,53	2.318,63 €

Fixem-nos que el benefici final és superior (18,63 € més en aquest cas) que en l'interès simple perquè el capital, cada any, es va incrementant.

Per deduir una expressió que ens permeti calcular el capital final (C_f) a partir del capital inicial (C_i), els anys (t), l'interès (i) que ens dóna el banc en percentatge (abans en dèiem rèdit, ara interès), podem veure que en la taula anterior cada any multipliquem el capital que tenim pel mateix factor i/100 (és un percentatge) i, aquest resultat l'afegim al capital. Això és multiplicar el capital pel factor $\left(1+\dfrac{i}{100}\right)$. I això ho hem de fer cada any, per tant, tindrem:

$C_f=C_i·\left(1+\dfrac{i}{100}\right)^t$

Com a exemple, podeu calcular el C_f d'aquesta taula aplicant aquesta expressió.

Si ens fixem, l'interès compost és una PG en la qual la raó $r= \left(1+\dfrac{i}{100}\right)$, el primer terme és C_i i la successió s'anomena C_n. En l'exemple que tenim:

C_n = {2.000, 2.060, 2.121'8, 2.185'45, 2.251'10, 2.318'63...} → $C_n=2000·\left(1+\dfrac{3}{100}\right)^{n-1}$ (Compte que ara aquí n no és exactament el nombre d'anys sinó el lloc en la PG).

Activitat Les activitats sobre aquests continguts estan en les diferents activitats finals del tema.