Llibre de probabilitat

Combinatòria i tècniques de recompte

La combinatòria és la part de les matemàtiques que estudia els problemes que es plantegen quan volem conèixer el nombre d’agrupacions o configuracions que es poden formar a partir d’un determinat col·lectiu d’elements (conjunt d’objectes, persones...). Les dues característiques que haurem de tenir en compte a l’hora d’estudiar els diferents tipus d’agrupacions possibles són:

• Els elements del conjunt que hauran d’aparèixer en cada configuració
• L’ordre dels elements en les configuracions

Disposem de diversos mètodes per calcular el nombre total d’agrupacions possibles:

• Els diagrames d’arbre
• Les fórmules combinatòries

Els diagrames en arbre

Exemple 1

En un restaurant ens deixen triar entre 3 primers plats, 2 segons i 4 postres. Volem saber de quantes formes diferents els podem escollir per fer un menú de 1r plat, 2n plat i postre.

Podem escollir entre 3 primers plats; per a cada primer plat, poden escollir entre 2 segons; i per a cada segon, poden escollir entre 4 postres. Podem fer el recompte de la manera següent:

• Suposem que els 3 primers plats són: a, b i c
• Suposem que els 2 segons plats són: d i e
• Suposem que els 4 postres són: f, g, h i i

i fem el diagrama en arbre següent:

En aquest arbre, de cadascuna de les 3 branques inicials, en surten 2 branques i, de cadascuna d'aquestes 2, en surten 4. Per tant, hi haurà, encara que no les dibuixem totes, 3·2·4 = 24 branques finals, que vol dir que hi haurà 24 menús possibles.

Combinatòria

Vídeos de combinatòria

Combinatòria 01 - Combinacions sense repetició

Combinatòria 02 - Permutacions sense repetició

Combinatòria 03 - Permutacions amb repetició

Combinatòria 04 - Variacions amb repetició

Combinatòria 05 - Variacions sense repetició

Fórmules combinatòries

Agrupacions	Tipus	Importa l'ordre?	Es poden repetir?	Elements per grup	Elements disponibles	A cada agrupació	Fórmula
Variacions	sense repetició	SI	NO	m	n	m<n
	amb repetició		SI			m<n , m>n
Permutacions	sense repetició	SI	NO			m=n
	amb repetició		SI
Combinacions	sense repetició	NO	NO			m<n
	amb repetició		SI

Experiències aleatòries

Hi ha experiències en les que, encara que no es pot predir un resultat, al realitzar-les moltes vegades en les mateixes condicions, els resultats presenten certa regularitat. Són les anomenades experiències aleatòries.

Quan es fa una experiència aleatòria s'obté un un resultat. El conjunt format per tots els resultats possibles d'una experiència aleatòria s'anomena espai mostral de l'experiència, i l'indicarem amb la lletra grega omega Ω.

Exemple 1: tirar un dau.
    Espai mostral: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Exemple 2: tirar una moneda.
    Espai mostral: Ω = { C, + } , on C indica cara i + indica creu

Exemple 3: tirar dos daus.
    Espai mostral: Ω = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
                                     (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
                                     (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
                                     (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
                                     (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
                                     (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

Al realitzar una experiència aleatòria, els resultats que tenen una certa característica o propietat s'anomena esdeveniment (o succés) associat amb l'experiència; aquests resultats que tenen una determinada propietat seran un subconjunt de l'espai mostral Ω que és el conjunt de tots els resultats possibles.

Exemples d'esdeveniments associat amb una experiència aleatòria:

a) Considerem l'experiència consistent en tirar un dau, on l'espai mostral és
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Per exemple, són esdeveniments associats amb aquesta experiència: treure nombre parell, treure menys de 4 , treure nombre primer, treure 5, treure 4 o 6, ....
Els conjunts de resultats, subconjunts de Ω, que tenen cadascuna d'aquestes característiques (parell, menys de 4, primer, 5, 4 o 6, ...) respectivament són:

• treure PARELL = { 2, 4, 6 }
• treure MENYS DE 4 = { 1, 2, 3 }
• treure PRIMER = { 2, 3, 5 }
• treure 5 = {5}
• treure 4 o 6 = { 4, 6 }

b) Considerem l'experiència consistent en tirar dos daus. Recordaràs que l'espai mostral Ω = { (1,1), (1,2), ... (6,5), (6,6) } tenia 36 elements.
Poden ser esdeveniments associats amb aquesta experiència: treure el mateix resultat als dos daus, treure algun 3, treure dos tresos, treure suma 4, ...
Els conjunts de resultats, subconjunts de Ω, que tenen cadascuna d'aquestes característiques (mateix resultat, algun 3, ...) respectivament són:

• MATEIX RESULTAT = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
• ALGUN 3 = { (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3) }
• DOS TRESOS = { (3,3) }
• SUMA 4 = { (1,3), (2,2), (3,1) }

Esdeveniments particulars

Un esdeveniment elemental és aquell que només el verifica un sol resultat.

Un esdeveniment impossible és aquell que no es verifica mai. Aleshores, el subconjunt de Ω corresponent és el conjunt buit, que es representa per Ø. Per exemple, són esdeveniments impossibles:

• Obtenir un nombre major que 7 al tirar un dau (o obtenir 10, o obtenir 0, ... ).
• Obtenir 3 cares al tirar 2 monedes.
• Obtenir l'as de trebol a l'extreure una carta d'una baralla espanyola.

Tots aquests esdeveniments impossibles tenen com a subconjunt de Ω associat el conjunt buit Ø, per això es diu que el conjunt buit Ø és l'esdeveniment impossible.

Un esdeveniment segur és el que sempre es verifica, Aleshores, el subconjunt de Ω corresponent és el propi conjunt Ω. Per exemple, són esdeveniments segurs:

• Obtenir cara o creu al tirar una moneda.
• Obtenir un nombre comprés entre 1 i 6, ambdós inclosos, al tirar un dau.
• Obtenir suma igual o inferior a 12 en tirar dos daus.

Tots aquests esdeveniments segurs tenen com a subconjunt de Ω associat el propi conjunt Ω, per això es diu que el conjunt Ω és l'esdeveniment segur .

Probabilitat. Regla de Laplace

• Regla de Laplace

Primer vídeo:" La probabilitat bàsica"

Segon vídeo : la probabilitat primers exemples.

Tercer vídeo: combinatòria, la loteria primitiva

Quart vídeo: la travessa de futbol

Probabilitat i esquemes de teoria de conjunts

Calcular una determinada probabilitat en experiències on hi ha equiprobabilitat aplicant la Regla de Laplace
        
es redueix a comptar resultats favorables, comptar resultats possibles i fer-ne la divisió. En ocasions, és molt útil usar els esquemes de la teoria de conjunts (els anomenats diagrames de Venn) per fer aquests recomptes.