Llibre de funcions

Representació gràfica

La representació gràfica s'utilitza per presentar la informació sobre diferents situacions o fenòmens relacionats amb les ciències socials, les ciències naturals o les matemàtiques. La representació gràfica permet una anàlisi més ràpida i eficaç de la informació, i, a la vegada, permet treure conclusions més fàcilment.
Aquesta forma de presentar la informació s'utilitza sovint en els mitjans de comunicació.

Coordenades i escales

Per dibuixar les gràfiques s'utilitzen dos eixos perpendiculars entre sí, cada eix representa una de les dues magnituds que es relacionen.

Per tal de poder interpretar amb precisió la gràfica es dibuixen unes marques en cada eix, la mida de les marques ha de ser igual en cada eix, encara que poden ser de diferent mida en els dos eixos. Cada marca representa una o varies unitats, i cal indicar quina unitat de mesura s'utilitza.

La gràfica següent representa el desplaçament d'un cotxe, és a dir la relació entre el temps (a l'eix horitzontal) i la distància al punt de partida (a l'eix vertical). Cada marca en l'eix horitzontal representa un minut i cada marca en l'eix vertical representa un quilòmetre.

Sense cap graduació dels eixos la gràfica només es té una visió general del desplaçament del cotxe: avança, s'atura i avança. Amb la graduació dels eixos es pot saber: en quin moment el cotxe s'atura, quina distància ha recorregut abans d'aturar-se, quan de temps està aturat, etc.

Cada punt del pla queda determinat per les distàncies a un parell de rectes o eixos perpendiculars, aquestes distàncies s'anomenen coordenades cartesianes. El nom es deu al matemàtic i filòsof francès René Descartes (1596-1650).

L'eix horitzontal s'anomena eix d'abscisses o eix de les x i el vertical eix d'ordenades o eix de les y; el punt d'intersecció d'aquests dos eixos s'anomena origen de coordenades. Els eixos divideixen el pla en quatre quadrants.

Sobre cada eix es tria una mida que representarà la unitat i amb aquesta mida es van posant marques sobre els eixos a partir de l'origen de coordenades, cap a la dreta i cap amunt és el sentit positiu i cap a l'esquerra i cap avall el negatiu. La mida pot ser diferent per cadascun dels eixos.

Què és una funció? Construeix la gràfica

Els següents vídeos expliquen amb exemples analítics i gràfics quan una relació és funció.

El següent vídeo explica com trobar imatges d'una funció donada de forma algebraica.

Creixement i decreixement

Màxims i mínims

Periodicitat

Simetries

La funció de proporcionalitat directa

Quan les variables independent i dependent són proporcionals, si augmenta la variable independent la variable dependent ho fa en la mateixa proporció, i quan disminueix la variable independent la variable dependent ho fa també en la mateixa proporció, llavors la funció que les relaciona es diu que és de proporcionalitat directa.

Exemple: la funció y = 2x

La gràfica d'aquests tipus de funcions sempre és una recta que passa per l'origen de coordenades.

La funció afí. Aplicacions

• La recta és obliqua i puja (és creixent) quan el pendent és positiu (o sigui, si m>0).
• La recta és obliqua i baixa (és decreixent) quan el pendent és negatiu (o sigui, si m<0).
• La recta és horitzontal (ni puja ni baixa) si el pendent és 0 (o sigui, si m=0). És aquest cas és una funció constant.

En els següents vídeos veuràs dos exemples de com es construeix el gràfic d'una funció afí.

La funció quadràtica simple y = ax²

La funció y = a·x² correspon a la funció quadràtica o de segon grau més senzilla, i la seva gràfica és d'un tipus de corbes anomenat paràbola.

Exemples: f(x) = 2x² i g(x) = -x²

Las característiques que has d'haver observat a les gràfiques anteriors són:

• Tenen un punt mínim o màxim anomenat vèrtex en el punt (0,0), l'origen de coordenades, que es considera un punt singular.
• Són simètriques respecte de l'eix d'ordenades.

Si l'equació de la paràbola és de la forma y = ax², en variar el valor del paràmetre a canvia la forma de la paràbola:

• Si a>0 les branques van dirigides cap amunt i s'anomena paràbola còncava
• Si a<0 les branques van dirigides cap avall i s'anomena paràbola convexa

Funcions de proporcionalitat inversa

Les funcions de la forma són les funcions anomenades de proporcionalitat inversa. Per a cada funció, k és una constant que rep el nom de constant de proporcionalitat inversa.

Les propietats a recordar de les funcions de proporcionalitat inversa són:

• No es pot calcular la imatge de 0 perquè no es pot dividir per 0
• El seu gràfic és una línia corba anomenada hipèrbola
• Aquestes hipèrboles són simètriques respecte l'origen
• Si k>0 les branques de la hipèrbola estan situades al 1r i 3r quadrants
  si k<0 les branques de la hipèrbola estan situades al 2n i 4t quadrants
• A mesura que augmenta el valor de k en valor absolut, els gràfics s'allunyen dels eixos de coordenades
• Si k>0 són funcions decreixents
  si k<0 són funcions creixents