Llibre d'aritmètica

Hi ha diversos tipus de nombres, hi ha diversos conjunts de nombres, amb els que podem fer certes coses i altres no.

Els nombres naturals

Els nombres naturals són aquells que utilitzen habitualment per comptar: 1, 2, 3, 4, 5, 6... El nombre 0 també pot ser considerat com a nombre natural, encara que moltes vegades es considera que no ho és, i que el primer nombre natural és l'1.

Per representar els nombres naturals utilitzem el sistema de numeració decimal. Utilitzem 10 dígits o xifres (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) i un sistema posicional de representació. Per exemple, 4235 correspon a quatre milers, dues centenes, tres desenes i cinc unitats i es llegeix quatre mil dos-cents trenta-cinc.

Els nombres naturals es poden ordenar: un dels dos és mes petit que l'altre ( i l'altre més gran que el primer). Els símbols d'ordenació són < , >, =, ≤ i ≥ . Per exemple,

• 3 < 4 es llegeix "3 és menor que 4"
• 5 ≥ 4 es llegeix "5 és major o igual que 4"

Els nombres naturals es poden representar sobre una recta. Si fixem un punt com origen i una determinada longitud com unitat, podem assignar a cada nombre natural una representació sobre la recta.

Per saber-ne més:

• Divisibilitat.

Operacions amb nombres naturals

La suma de dos nombres naturals és un altre nombre natural (7+5=12). L'operació suma es representa amb el símbol +. L'ordre dels sumands (7 i 5) no afecta al resultat: 7 + 5 = 5 + 7 = 12.

La resta de dos nombres naturals ( 7 - 5) només és un nombre natural si el minuend (7) és major que el subtrahend (5). L'operació resta és l'operació inversa de l'operació suma. Es representa amb el símbol - . L'ordre dels operants és important: 7 - 5 no és igual a 5 - 7.

El producte de dos nombres naturals (7 × 5) és un nombre natural (7×5 = 35). Es representa amb el símbol · , ×. Es pot no escriure si ha d'anar entre un nombre i un parèntesi. L'ordre dels operadors no afecta al resultat: 7 × 5 = 5 × 7 = 35. Exemples: 6 × 4 = 24.

La divisió de dos nombres naturals (12 : 3) només té un resultat natural si el dividend (12) és un múltiple del divisor (3). La divisió és la operació inversa de la multiplicació. Es representa amb el símbol : o  /. Exemple: 21 : 3 = 7. En canvi 14:5 no té solució en els nombres naturals.

La divisió entera entre dos nombres naturals sempre es pot calcular. Es dóna com a resultat un quocient i un residu. Si fem la divisió de 17 (dividend) entre 5 (divisor) ens dóna un quocient de 3 i un residu de 2. La relació entre aquests valors és la següent: 17= 5 × 3 + 2. En general dividend = divisor x quocient + residu

La potència aⁿ és el producte de la base (a) per si mateix tantes vegades com indica l'exponent (n):

$a^n=\underbrace{a\cdot a \cdot a\cdot ... \cdot a}_{n\hspace{5}factors}$

Exemple: 10³ = 10 · 10 · 10 = 1000.

Propietats:

$a^{n} \times a^{m}=a^{n+m}$

$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n \cdot m}$

$a^{0}=1$

Per fer potències amb la calculadora científica pots utilitzar la tecla  ^  o x^y segons el model que tinguis. Mira el manual de la teva calculadora. Per fer-ho amb l'editor del campus has de clicar la icona .

L'arrel quadrada d'un nombre natural ($\sqrt{25}$) només dóna un resultat natural si és un "quadrat perfecte". És a dir, només si és el producte d'un nombre natural per si mateix $(\sqrt{25}=5)$. L'arrel quadrada és l'operació inversa d'elevar al quadrat: $\sqrt{25}=5$ perquè $5^2=25$. En general, $\sqrt{a}=b$ si i només si $b^2=a$. Exemple: $\sqrt{49}=7$

Quan tenim diferents operacions combinades, la prioritat de les operacions (l'ordre per realitzar les operacions) és:

1. Els parèntesis i claudàtors
2. Potències i arrels
3. Els productes i les divisions
4. Les sumes i les restes

Exemple: (3 + 2) × 4 = 20 però 3 + 2 × 4 = 11.

Els múltiples d'un nombre n són els nombres que es poden obtenir multiplicant n per un nombre enter. Són múltiples de 3 els nombres 6, 9,12, -3, -6, ...

Si en fer la divisió entera de n per un nombre d el residu és 0 aleshores d és un divisor de n i direm que n és divisible per d. Els divisors de 12 són 1, 2, 3, 4, 6 i 12.

Un nombre és primer si els seus únics divisors són l'1 i ell mateix (i els seus oposats). Exemples: el 5 és primer però el 6 no és primer perquè el 2 també n'és divisor.

Dos nombres són primers entre ells, primers entre si, si no tenen cap factor comú diferent de l'1. El seu m.c.d. serà 1. Exemple: 15 i 8 són primers entre si.

Per saber-ne més:

• La música de los números primos, vídeo de 26 min emès al canal Historia sobre els nombres primers.
  

Tot nombre enter es pot descompondre en producte de factors primers. Exemple: 60 = 5 · 3 · 2².

El màxim comú divisor de dos nombres a i b és el divisor comú més gran que tenen a i b. Es representa m.c.d(a,b). Exemple: m.c.d(15,25) = 5.

Vídeo que explica com descompondre en factors primers i com calcular el mcm i mcd de tres nombres.

El mínim comú múltiple de dos nombres a i b és el múltiple comú més petit d'a i de b. Es representa m.c.m(a,b). Exemple: m.c.m(6,8) = 24.

Els nombres enters

El conjunt dels nombres enters (Z) és una ampliació del conjunt dels nombres naturals (N). Està format pels nombres positius, el nombre 0 i els nombres negatius: ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...

Si tenim dos nombres enters sempre es poden ordenar. O són iguals o un dels dos és més petit que l'altre o l'altre és més gran que el primer. Qualsevol nombre negatiu és sempre menor que qualsevol nombre positiu. Exemples: -3 < 1, -2 > -3 i -7 = -7.

Els nombres enters es poden representar sobre una recta. Si fixem un punt com origen (0), una determinada longitud com unitat (0-1), i un sentit positiu (cap a la dreta), podem assignar a cada nombre enter una posició (un punt) sobre la recta.

El valor absolut d'un nombre enter és la distància del nombre al zero i que per això sempre ha de ser positiu. És el mateix nombre si és positiu i el valor oposat si és negatiu. Es representa amb el nombre entre dues barres verticals |n|. Exemples: |6|= 6, |-4|= 4 i |0|=0.

• El signe negatiu davant d'un parèntesi canvia el signe del que hi ha a l'interior.
• El signe positiu davant d'un parèntesis no canvia el signe de dins 

Operar amb enters

Per sumar dos nombres enters que tenen el mateix signe:

1r  Sumem els valors absoluts dels nombres.
2n Posem el mateix signe dels nombres al resultat.
Exemples:

Si un nombre no té signe vol dir que és positiu.

Per sumar dos nombres enters que tenen diferent signe:

1r - Restem els valors absoluts del nombres.
2n - Posem al resultat el signe del nombre que té major valor absolut.
Exemple:

Aquesta imatge il·lustra això que hem dit. Si els dos tenen el mateix signe la suma tindrà el mateix signe. Si són de signes diferents escriurem el signe del més gran.

Per restar dos nombres enters cal sumar al primer l'oposat del segon. Per exemple: 

Tot i que es pot fer de diverses formes, si hem de fer diverses sumes i restes seguides és aconsellable primer sumar els nombres del mateix signe i finalment fer la resta.

Exemple:

  de moment eliminem els parèntesis vigilant els signes

  ara sumem d'una banda tots els positius i per l'altra tots els negatius

    finalment realitzem la darrera operació que queda

Per multiplicar dos nombres enters

1r - Multipliquem els seus valors absoluts.
2n - Posem el signe positiu (+) al resultat obtingut si els dos factors són del mateix signe, i el signe – si els dos factors tenen diferent signe.

Exemples:

(+4) × (+3) = +12
(-5) × (-8) = +40
(+60) × (-1) = -60
(-2) × (+8) = -16

Per fer la divisió exacta de dos nombres enters

1r - Es divideixen els seus valors absoluts.
2n - Es posa positiu si tenen el mateix signe i negatiu si tenen signe diferent.

Exemples:

(+12) : (+3) = +4
(-40) : (-8) = +5
(+60) : (-2) = -30
(-16) : (+8) = -2

Els múltiples d'un nombre n són els nombres de la forma n·x essent x qualsevol nombre enter. Exemples: són múltiples de 3 els nombres 6, 9,12, -3, -6, ...

Són nombres racionals tots aquells nombres que es poden escriure en forma de fracció d'un enter per un altre enter no nul.

Una fracció es representa per dos nombres enters que s'anomenen numerador i denominador:

Una fracció pot representar una part d'un conjunt o d'una unitat. Per exemple, en la fracció a/b el terme b (denominador) expressa en quantes parts iguals s'ha dividit la unitat i el terme a (numerador) expressa quantes de les parts ens interessa destacar.

Dues fraccions a/b i c/d són equivalents (tenen igual valor) si a·d=b·c. Exemple: 15/10 i 9/6 són equivalents ja que 15·6=10·9.

Simplificar una fracció és convertir-la en una altra d'equivalent, més senzilla. Per simplificar es divideix el numerador i el denominador pel mateix nombre. Exemple: Una fracció simplificada de 6/4 és 3/2.

La fracció irreductible és la fracció que no es pot simplificar més. Una fracció és irreductible si el numerador i denominador són primers entre ells, és a dir si no tenen divisors comuns llevat de l'1. Exemple: 3/2, 35/6, 8/9.

Per ordenar dues fraccions:

1r Es redueixen a mínim comú denominador.
2n La fracció amb el numerador més gran és la fracció més gran de les dues.

Per sumar o restar fraccions amb el mateix denominador la suma (o resta) de les fraccions és una fracció amb el mateix denominador i al numerador la suma (o resta) dels numeradors . Si tenen diferent denominador primer cal escriure les fraccions equivalents que tinguin comú el denominador i després procedir com en el cas anterior. En tots dos casos, cal simplificar el resultat final.

Exemples:

• $\frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5 + 2}{9} =\frac{7}{9}$
  
  
• $\frac{7}{12} -\frac{3}{8}=\frac{14}{24} -\frac{9}{24}=\frac{14-9}{24} =\frac{5}{24}$

El següent vídeo explica com calcular $\frac{10}{6}+\frac{2}{15}$ però comença amb operacions més senzilles com $\frac{1}{4}+\frac{2}{4}$, $\frac{3}{6}-\frac{2}{6}$ i $\frac{1}{12}+\frac{2}{3}$

La multiplicació de dues o més fraccions és una nova fracció que té per numerador el producte dels numeradors i per denominador el producte de denominadors. Cal simplificar el resultat. $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Exemples

• $\frac{5}{12} \cdot \frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 7}=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}$
  
  
• $\frac{5}{8} \cdot \frac{\left(-15\right)}{2} = \frac{5 \cdot \left(-15\right)}{8 \cdot 2} =- \frac{75}{16}$

Dividir dues fraccions és el mateix que multiplicar la primera fracció per la inversa de la segona. La manera més ràpida de dividir dues fraccions és multiplicant en creu els seus elements i simplificant el resultat final.

Atenció: la divisió de fraccions també es pot expressar així:

Exemples

La potència aⁿ és el producte de la base (a) per si mateixa tants cops com indica l'exponent (n). 

$a^{n}=a \times a \times .... \times a$

$\left( \frac{a}{b} \right)^{n}= \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Per calcular el valor d'una potència amb base negativa cal tenir en compte la llei dels signes de la multiplicació. Així podem resumir que:

• Si la base és positiva la potència sempre és positiva:    (positiu)^exponent = positiu

• Si la base és negativa i l'exponent parell el resultat és positiu:   (negatiu)^parell = positiu
  
  
• Si la base és negativa i l'exponent senar el resultat és negatiu:  (negatiu)^senar = negatiu

Exemples:

Per extensió es defineix la potència amb exponent negatiu com:

$a^{-n}= \frac{1}{a^{n}}$

$\left( \frac{a}{b} \right)^{-n}=\left( \frac{b}{a} \right)^{n}$

Exemples:

Propietats:

$a^{n} \times a^{m}=a^{n+m}$

$\frac{a^{n}}{a^{m}} =a^{n-m}$

$\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n \cdot m}$

$a^{0}=1$

$a^{1}=a$

Exemples:

Per fer potències amb la calculadora científica pots utilitzar la tecla  ^  o x^y segons el model que tinguis. Mira el manual de la teva calculadora. Per fer-ho amb l'editor del campus has de clicar la icona .

Un nombre decimal té una part entera i una part decimal, separades per la coma decimal.

Materials d'aprenentatge interactius:

• Edad

Podem aproximar un nombre decimal amb un altre que tingui menys xifres decimals.

• Per truncament o per defecte. Deixem el nombre de decimals que volem i traiem els altres.
• Per excés. Deixem el nombre de decimals que volem però augmentant l'última xifra en un i traiem els altres.
• Per arrodoniment. Si la primera xifra suprimida és més gran o igual que 5 aproximarem per excés. En cas contrari aproximarem per defecte. Per exemple, si aproximem els nombres 6,457 i 3,141 a dos decimals per arrodoniment tindrem 6,46 i 3,14.

En aproximar un nombre cometem un error, ja que no estem considerant el valor exacte. És bo conèixer o almenys acotar l'error que estem comentem per valorar la precisió dels nostres càlculs.

L'error absolut E_a és la diferència en valor absolut entre el valor exacte i l'aproximació.

L'error relatiu E_r és el quocient entre l'error absolut i el valor absolut del valor exacte. Aquest ens indica quin és l'error comès per unitat (habitualment es dóna en %) i ens serveix per comparar diverses aproximacions, per saber quina és més precisa.

Tanmateix, dels nombres amb infinites xifres no en coneixem el valor exacte i per això no podem calcular-ne l'error relatiu, sinó només una fita, és a dir podrem dir que l'error comés és menor que un cert valor. El càlcul d'aquesta fita no és únic, una forma de fer-ho és aquesta:

Fita de l'error absolut <|Aproximació per excés- Aproximació per defecte|

Materials d'aprenentatge interactius:

• Edad

Els nombres reals es poden representar en una recta que anomenen recta real. A cada punt de la recta li correspon un únic nombre real i a l'inrevés. Els nombres reals segueixen una ordenació de manera que quan més petit és un nombre, més a l'esquerra de la recta està representat.

Un interval és un conjunt de nombres reals que es representen sobre la recta com un segment o una semirecta ( en el cas d'intervals infinits).

A internet hi ha molts recursos (vídeos, materials, activitats interactives, ...) per aprendre aritmètica. Per exemple:

	Més de 150 vídeos en castellà sobre: Operaciones con números enteros, Operaciones con números decimales, Propiedades de los números reales, Simplificación con signos de agrupación, Fracciones, Porcentajes, Potencias de números, Notación científica, Conversión utilizando factores, Errores típicos i Valor númerico.
	Unicoos és una pàgina web amb molts vídeos sobre matemàtiques, física i química. Si et registres gratis podràs aconseguir punts i insígnies segons els vídeos que vegis, les preguntes que facis o responguis als fòrums... Al canal unicoos de Youtube hi ha llistes de reproducció, per exemple sobre: Números enteros y racionales, Multiplos y divisores, ...
	Al canal youtube del professor Juan Medina Molina trobaràs llistes de reproducció sobre: Números racionales, Figuras planas, Teorema de Thales, Regla de tres, Ecuación de segundo grado, Trigonometria, Ecuaciones de primer grado, Probabilidad paso a paso, Polonomios, Radicales, Interés simple, Interés compuesto, ...
Xavi Mates	Al canal youtube de Xavi Mates trobaràs llistes de reproducció de vídeos sobre: Proporcionalitat, Recàrrecs i Descomptes, Sistemes d'equacions, Polinomis, Radicals, Potències, Equacions de 2n grau, Equacions de 1r grau, Vectos de 2 dimensions, Probabilitat
	A la pàgina http://cibermatex.net/ trobaràs vídeos organitzats temàticament sobre: Números Complejos, Geometría Plana Básica, Fracciones Algebraicas, proporcionalidad y Regla de 3, Matemática Financiera, Números Racionales, Combinatoria, Geometría en el espacio, Sistemas de ecuaciones, ...
	El proyectodescartes.org inclou diversos subprojectes com: Proyecto ED@D, Uni, dades Didácticas, Proyecto Competencias , Proyecto ASIPISA, ... Tenen unitats didàctiques interactives, agrupades per cursos o idioma. Cobreixen gran part del temari de primària, ESO i batxillerat de matemàtiques, ciències naturals i física i química.