Llibre de probabilitat
Experiències aleatòries
Hi ha experiències en les que, encara que no es pot predir un resultat, al realitzar-les moltes vegades en les mateixes condicions, els resultats presenten certa regularitat. Són les anomenades experiències aleatòries.
Quan es fa una experiència aleatòria s'obté un un resultat. El conjunt format per tots els resultats possibles d'una experiència aleatòria s'anomena espai mostral de l'experiència, i l'indicarem amb la lletra grega omega Ω.
Exemple 1: tirar un dau.
Espai mostral: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Exemple 2: tirar una moneda.
Espai mostral: Ω = { C, + } , on C indica cara i + indica creu
Exemple 3: tirar dos daus.
Espai mostral: Ω = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }
Al realitzar una experiència aleatòria, els resultats que tenen una certa característica o propietat s'anomena esdeveniment (o succés) associat amb l'experiència; aquests resultats que tenen una determinada propietat seran un subconjunt de l'espai mostral Ω que és el conjunt de tots els resultats possibles.
Exemples d'esdeveniments associat amb una experiència aleatòria:
a) Considerem l'experiència consistent en tirar un dau, on l'espai mostral és
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Per exemple, són esdeveniments associats amb aquesta experiència: treure nombre parell, treure menys de 4 , treure nombre primer, treure 5, treure 4 o 6, ....
Els conjunts de resultats, subconjunts de Ω, que tenen cadascuna d'aquestes característiques (parell, menys de 4, primer, 5, 4 o 6, ...) respectivament són:
- treure PARELL = { 2, 4, 6 }
- treure MENYS DE 4 = { 1, 2, 3 }
- treure PRIMER = { 2, 3, 5 }
- treure 5 = {5}
- treure 4 o 6 = { 4, 6 }
b) Considerem l'experiència consistent en tirar dos daus. Recordaràs que l'espai mostral Ω = { (1,1), (1,2), ... (6,5), (6,6) } tenia 36 elements.
Poden ser esdeveniments associats amb aquesta experiència: treure el mateix resultat als dos daus, treure algun 3, treure dos tresos, treure suma 4, ...
Els conjunts de resultats, subconjunts de Ω, que tenen cadascuna d'aquestes característiques (mateix resultat, algun 3, ...) respectivament són:
- MATEIX RESULTAT = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
- ALGUN 3 = { (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3) }
- DOS TRESOS = { (3,3) }
- SUMA 4 = { (1,3), (2,2), (3,1) }
Esdeveniments particulars
Un esdeveniment elemental és aquell que només el verifica un sol resultat.
Un esdeveniment impossible és aquell que no es verifica mai. Aleshores, el subconjunt de Ω corresponent és el conjunt buit, que es representa per Ø. Per exemple, són esdeveniments impossibles:
- Obtenir un nombre major que 7 al tirar un dau (o obtenir 10, o obtenir 0, ... ).
- Obtenir 3 cares al tirar 2 monedes.
- Obtenir l'as de trebol a l'extreure una carta d'una baralla espanyola.
Tots aquests esdeveniments impossibles tenen com a subconjunt de Ω associat el conjunt buit Ø, per això es diu que el conjunt buit Ø és l'esdeveniment impossible.
Un esdeveniment segur és el que sempre es verifica, Aleshores, el subconjunt de Ω corresponent és el propi conjunt Ω. Per exemple, són esdeveniments segurs:
- Obtenir cara o creu al tirar una moneda.
- Obtenir un nombre comprés entre 1 i 6, ambdós inclosos, al tirar un dau.
- Obtenir suma igual o inferior a 12 en tirar dos daus.
Tots aquests esdeveniments segurs tenen com a subconjunt de Ω associat el propi conjunt Ω, per això es diu que el conjunt Ω és l'esdeveniment segur .