Llibre d'estadística

Mesures de centralització

Un cop hem recollit les dades i les hem ordenat posant-les en una taula, arriba el moment de calcular algunes mesures que ens ajudin a fer un bon anàlisi de la variable d'estudi.

Amb dades de tipus quantitatiu les mesures de centralització ens proporcionen amb un sol valor quin és el centre de la distribució a l'entorn del qual estan les dades.

Anem a definir les mesures de centralització més importants.

MODA: És el valor que més es repeteix. Si tenim les dades agrupades en una taula buscarem la dada que té més freqüència absoluta o relativa. Pot ser que una distribució de dades no tingui moda, o que en tingui més d'una (si en té dues li direm bimodal)

MITJANA ARITMÈTICA: És la suma de totes les dades dividida entre el nombre total de dades. De forma abreujada l'escrivim com una x amb una barra a dalt : . Si tenim dades, la mitjana es calcula amb la següent fórmula: . Si tenim moltes dades repetides multiplicarem cada dada per la seva freqüència per no haver de sumar tant, en aquest cas la fórmula ens quedarà: .

MEDIANA : És el valor central de la distribució de dades. El 50% de les dades són inferiors o iguals a la mediana i l'altre meitat són superiors a ella. Per calcular-la han d'estar ordenades de petita a gran. Si tenim un nombre senar de dades n'hi haurà una que està justament al mig, la que ocupa el lloc , aquesta dada en serà la mediana. Si tenim un nombre parell de dades, n'hi ha dues que ocupen el centre, les que estan en posició i la que està en posició  . Es tractarà d'identificar quines dades estan en aquestes posicions i després fer la mitjana de les dues.

 

Exemple1

El trimestre de tardor es van presentar 412 alumnes a la prova de matemàtiques. Les notes finals d'aquests estudiants presentats queden recollides a la següent taula.

1	21	21
2	44	65
3	26	91
4	8	99
5	50	149
6	76	225
7	69	294
8	75	369
9	36	405
10	7	412

 

A partir d'aquestes dades volem calcular la moda, la mediana i la mitjana aritmètica.

Abans de fer els càlculs recordem que vol dir cada columna.

A la primera columna hi tenim les dades és a dir el ventall de notes obtingudes.

A la segona columna hi tenim les freqüències absolutes , és a dir el nombre d'alumnes que han obtingut cadascuna de les notes. (21 alumnes han tret un 1; 44 alumnes tenen un 2; ....)

I a la tercera columna hi tenim les freqüències absolutes acumulades , fixem-nos que aquesta columna s'obté de sumar les . Així la primera coincideix amb , la segona l'obtenim sumant ;  ; etc.

Aclarits aquests termes anem pels càlculs demanats.

 

Quina és la moda?

És la nota que han obtingut més alumnes , per tant és la que té més freqüència absoluta. En aquest cas es tracta del 6 que l'han obtingut 76 alumnes.

 

Quina és la mitjana aritmètica?

Apliquem la fórmula

Així doncs la nota mitjana obtinguda pels alumnes presentats a matemàtiques el trimestre de tardor va estar de 5,83 punts.

 

Quina és la mediana?

Ara tenim 412 dades, un nombre parell. Però no les anem a posar una al costat de l'altre per saber quina és la que ocupa el lloc . Hem de fer-ho observant la taula, concretament la columna de les freqüències absolutes acumulades. Tenim 149 dades inferiors o iguals a 5, i 225 inferiors o iguals a 6. Per tant tant la dada que ocupa el lloc 206 com la 207 són un 6. No cal fer la mitjana perquè són iguals i per tant podem afirmar que la mediana és 6.

El 50% dels alumnes presentats tenen un 6 o menys i l'altra 50% més d'un 6.

 
Exemple 2

Es vol fer un estudi sobre el consum d'alcohol entre els joves. Es pregunta a 200 nois i noies de 16 anys quants cops a la setmana beuen alcohol. Les respostes queden recollides a la següent taula:

0	60	60
1	40	100
2	60	160
3	30	190
4	10	200

Volem calcular-ne la moda la mitjana i la mediana.

  

Quina és la moda?

En aquest cas podem observar que hi ha dos valors que tenen freqüència màxima 0 i 2. Per tant podríem dir que es tracta d'una distribució bimodal, és a dir té dues modes 0 i 2.

 

Quina és la mitjana aritmètica?

Apliquem la fórmula 

Per tant direm que la mitjana de la distribució és 1,45.

 

Quina és la mediana?

Com tenim 200 dades , haurem de buscar les que ocupen el lloc 100 i 101 un cop ordenades de petita a gran. Com tenim la taula, és fàcil veure a la tercera columna, la de les freqüències acumulades que les dades nº 61 fins a la nº 100 (incloses) corresponen a un 1, i que des de la dada 101 fins a la 160 corresponen a un 2.

Per tant la dada nº 100 és 1 i la dada nº 101 és un 2. Per calcular la mediana fem la mitjana de les dues : Mediana=  

La Mediana és 1,5 i per tant la meitat dels joves enquestats beuen alcohol 1,5 cops a la setmana o menys.

 

Vídeo 1. Càlcul de la mitjana aritmètica.

Vídeo 2. Càlcul de la mediana.

Vídeo 3. Freqüència, Mitjana, Moda i Mediana.