Llibre d'equacions

Equacions de grau 2

Entrem ja amb les equacions de grau dos. Les distingirem perquè tindrem un terme amb x² i aquest serà el grau més gran que surt a l'equació. Per exemple: $3 x ² més 5 x menys 7 igual 0 espai$ o $menys 2 x més 6 igual espai 3 x menys x ²$ són equacions de grau 2.

Per resoldre les equacions de grau dos, tenim una fórmula i només caldrà aplicar-la. Però per fer-ho, haurem de tenir l'equació escrita en la seva forma general que serà d'aquest tipus: $bold italic a bold italic x elevat a negreta 2 negreta més bold italic b bold italic x negreta més bold italic c negreta igual negreta 0$ on a, b i c seran nombres qualsevol (la a no serà zero, perquè si no ja no tindrem una equació de grau 2).

Un cop escrita així caldrà identificar molt bé qui són en el nostre cas la a, la b i la c i després aplicar la següent fórmula:

$bold italic x negreta igual fracció numerador negreta menys negreta b negreta més-menys arrel quadrada de negreta b elevat a negreta 2 negreta menys negreta 4 negreta per negreta a negreta per negreta c fi arrel entre denominador negreta 2 negreta per negreta a fi fracció$

Observa que aquesta fórmula ens dóna dues possibilitats amb el signe ± i d'aquí en traurem en general dues equacions de l'equació.

$bold italic x subíndex negreta 1 negreta igual fracció numerador negreta menys negreta b negreta menys arrel quadrada de negreta b elevat a negreta 2 negreta menys negreta 4 negreta per negreta a negreta per negreta c fi arrel entre denominador negreta 2 negreta per negreta a fi fracció$ i $bold italic x subíndex negreta 2 negreta igual fracció numerador negreta menys negreta b negreta més arrel quadrada de negreta b elevat a negreta 2 negreta menys negreta 4 negreta per negreta a negreta per negreta c fi arrel entre denominador negreta 2 negreta per negreta a fi fracció$

L'ordre en que les calculis no té importància, excepte quan estiguis responent un qüestionari. Allí si que has de posar els dos valors que obtinguis en l'ordre que es diu a l'enunciat, perquè la correcció és automàtica i si no ho fas tal com es demana no es corregirà bé.

El valor de dins l'arrel es diu discriminant i es denota Δ , així doncs $negreta increment negreta igual negreta b elevat a negreta 2 negreta menys negreta 4 negreta per negreta a negreta per negreta c$

Segons el valor del discriminant podrem afirmar si l'equació té o no solució i si en té, quantes en té de diferents.

- Si el discriminant és Δ>0 l'equació té dues solucions diferents.
- Si el discriminant és Δ=0 l'equació té una solució repetida
- Si el discriminant és Δ<0 l'equació no té solució

Observacions:

- en el cas que el valor del discriminant sigui positiu tindrem dues solucions que vindran del doble signe (sumar i restar) que tenim davant de l'arrel.
- és important en aquest tema tenir un bon domini de la calculadora a l'hora de fer l'arrel quadrada i la resta d'operacions. Si amb la calculadora fem l'arrel d'un nombre negatiu, la calculadora ens retornarà Error i això vol dir que aquesta arrel no existeix i per tant que l'equació no té solució.
- És recomanable per evitar errors que facis les operacions pas a pas i vigilis molt la llei dels signes i la prioritat de les operacions:
  - primer calcula el valor de dins de l'arrel
  - després fes l'arrel
  - calcula separadament el valor del numerador i el denominador (recorda que tindràs dos numeradors un amb el + i l'altra amb el - )
  - finalment fes la divisió del numerador entre el denominador i obtindràs les solucions (en cas d'haver-n'hi).
- Si et cal repassar què és l'arrel quadrada d'un nombre et donem alguns enllaços, no cal aprendre l'algoritme perquè les podràs fer amb calculadora:

-Com es calcula una arrel quadrada? Edu365.cat
-Definició d'arrel quadrada (Sangakoo)
- La raiz cuadrada de un número entero (vitutor)

Enllaços d'interès

Segueix aquesta ruta:

http://www.toomates.net

Un cop dins la pàgina tria Recursos >>Equacions>>Equacions de segon grau

Hi trobaràs diversos exercicis interactius.