Llibre d'equacions

Equacions amb fraccions

Ens queda un pas més de dificultat: com resoldre equacions en les que apareixen denominadors?

Els passos a seguir seran aquests:

Calcular el m.c.m de tots els denominadors (els termes que no tenen denominador és com si tinguessin denominador 1).
Multiplicar tots els temes de l'equació pel m.c.m. i simplificar-ho de manera que desapareixen els denominadors.
Treure els parèntesis (si n'hi ha) aplicant la propietat distributiva.
Agrupar els termes amb x a un costat i els nombres a l'altre.
Reduir termes semblants.
Aïllar la x.

Observa que un cop hem fet el pas 1 ja ens trobem amb una equació com les ja treballades i seguim els passos dels casos anteriors.

Veiem alguns exemples resolts

$fracció numerador 2 x menys 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció 5 entre 3$

Calculem el mcm(2,3)=6

Multipliquem per 6 tots els termes:

$6 per obre parèntesis fracció numerador 2 x menys 1 entre denominador 2 fi fracció tanca parèntesis igual 6 per fracció 5 entre 3$

Ara fem primer les divisions abans de fer els productes i d'aquesta manera eliminem els denominadors.

$negreta 6 per obre parèntesis fracció numerador 2 x menys 1 entre denominador negreta 2 fi fracció tanca parèntesis igual negreta 6 per fracció 5 entre negreta 3$

$fracció 6 entre 2 igual 3$ i $fracció 6 entre 3 igual 2$ per tant queda

$negreta 3 per parèntesi esquerre 2 x menys 1 parèntesi dret igual negreta 2 per 5$

Eliminem el parèntesi fent els productes:

$6 x menys 3 igual 10$

Transposem termes

$6 x igual 10 més 3$

i operem

$6 x igual 13$

Aïllem la x .

$x igual fracció 13 entre 6$

com ja tenim la fracció reduïda, ja hem acabat.

$fracció x entre 4 menys 2 igual fracció 9 entre 2 menys 3 x$

calculem el m.c.m (4,2)=4

Multipliquem tots els termes per 4

$4 per fracció x entre 4 menys 4 per 2 igual 4 per fracció 9 entre 2 menys 4 per 3 x$

Fem les divisions i els productes per eliminar els denominadors:

$negreta 4 per fracció x entre negreta 4 menys 4 per 2 igual negreta 4 per fracció 9 entre negreta 2 menys 4 per 3 x$

$x menys 8 igual 18 menys 12 x$

Agrupem termes, reduïm i aïllem la x

$x més 12 x igual 18 més 8$

$13 x igual 26$

$x igual fracció 26 entre 13 igual 2$

Observacions a tenir en compte

- El signe menys davant d'una fracció afecta a tot el numerador
  Per exemple: $menys fracció numerador x menys 1 entre denominador 2 fi fracció igual fracció numerador menys x més 1 entre denominador 2 fi fracció$

- En el cas que l'equació només tingui un terme a cada banda, el pas 1 equival a multiplicar en creu, és a dir , la resolució final equival a fer-ho seguint el mètode general
  Exemple:
  $fracció numerador 2 menys x entre denominador 3 fi fracció igual fracció numerador 3 x menys 1 entre denominador 2 fi fracció$
  Multipliquem els denominadors en creu
  
  $negreta 2 negreta per negreta parèntesi esquerre negreta 2 negreta menys bold italic x negreta parèntesi dret igual negreta 3 negreta parèntesi esquerre negreta 3 bold italic x negreta menys negreta 1 negreta parèntesi dret$ ara que ja no tenim denominadors, continuem els passos
  eliminem els parèntesis $negreta 4 negreta menys negreta 2 bold italic x negreta igual negreta 9 bold italic x negreta menys negreta 3$
  transposem termes $negreta menys negreta 2 bold italic x negreta menys negreta 9 bold italic x negreta igual negreta menys negreta 3 negreta menys negreta 4$
  ajuntem x i nombres $negreta menys negreta 11 bold italic x negreta igual negreta menys negreta 7$
  i finalment aïllem la x i simplifiquem el resultat: $bold italic x negreta igual fracció numerador negreta menys negreta 7 entre denominador negreta menys negreta 11 fi fracció negreta igual fracció negreta 7 entre negreta 11$

En aquests vídeos pots veure la resolució d'altres equacions amb fraccions.

Adaptació visual:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KBXwQLjeFf4

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=KDxvfarGL98